Канонические переменные

Пусть теперь параметр λ постоянен, так что рассматриваемая система замкнута.

Произведем каноническое преобразование переменных q, p, выбрав величину I в качестве нового «импульса». Роль производящей функции должно при этом играть «укороченное действие» S₀, выраженное в функции от q и I. Действительно, S₀ определяется как интеграл

S₀ (q,E;λ) = p (q,E;λ) dq,                               (50.1)

взятый при заданном значении энергии E (и параметра λ).

Но для замкнутой системы I является функцией одной только энергии; поэтому S₀ можно с тем же правом выразить в виде функции S₀(q,I;λ), а частная производная (∂S/∂q)_E=p совпадает с производной (∂S/∂q)_I при постоянном I. Поэтому имеем

p = ,                                               (50 2)

что соответствует первой из формул канонического преобразования (45.8). Вторая же формула определит новую «координату» , которую обозначим через ω:

ω = .                                              (50.3)

Переменные I и ω называют каноническими переменными, причем I называется в этой связи переменной действия, а ω — угловой переменной.

Поскольку производящая функция S₀(q,I;λ) не зависит явно от времени, то новая функция Гамильтона H' совпадает со старой H, выраженной через новые переменные. Другими словами, H' есть энергия, выраженная в функции переменной действия, E(I). Соответственно уравнения Гамильтона для канонических переменных имеют вид

= 0,   = .                                              (50.4)

Из первого имеем, как и следовало, I=const — вместе с энергией постоянна и величина I. Из второго же видим, что угловая переменная является линейной функцией времени:

ω =  t + const = ω (I)t + const;                          (50.5)

она представляет собой фазу колебаний.

Действие S₀(q,I) — неоднозначная функция координат. По истечении каждого периода эта функция не возвращается к исходному значению, а получает приращение

ΔS₀ = 2I,                                                              (50.6)

как это очевидно из (50.1) и определения I согласно (49.7). За это же время угловая переменная получает приращение

Δω = Δ = ΔS₀ = 2.                                     (50.7)

Обратно, если мы выразим q и p (или любую их однозначную функцию F(q,p)) через канонические переменные, то эти функции не будут менять свои значения при изменении ω на 2 (при заданном значении I). Другими словами, всякая однозначная функция F(q,p), будучи выражена через канонические переменные, является периодической функцией ω с периодом, равным 2.