Страница 2 из 2
Пусть ω0 — ближайшая к вещественной оси особая точка, т.е. точка с наименьшей по величине (положительной) мнимой частью. Главный вклад в интеграл (51.5) возникает от окрестности этой точки, причем каждый из членов ряда (51.4) дает вклад, содержащий множитель ехр(−l Im ω0). Сохраняя опять-таки лишь член с наименьшим по абсолютной величине отрицательным показателем (т.е. член с l=1), найдем, что
ΔI 
ехр (−Im ω0). (51.6)
Пусть t0 — «момент времени» (комплексное число!), отвечающий особой точке ω0: ω(t0)=ω0. По порядку величины |t0| совпадает, вообще говоря, с характерным временем изменения параметров системы; обозначим это время через 
. Порядок же величины показателя степени в (51.6) будет
Im ω0 ~ ω ~ /T. (51.7)
Поскольку, по предположению, >>T, то этот показатель велик. Таким образом, разность I+−I− убывает экспоненциально при уменьшении скорости изменения параметров системы.
Для определения ω0 в первом приближении по T⁄(т.е. с сохранением лишь члена порядка (T⁄)−1 в показателе) можно отбросить в уравнении (50.11) малый член, содержащий λ, т.е. писать
= ω(I,λ(t)), (51.8)
причем аргумент I функции ω(I,λ) полагается постоянным, скажем, равным I−. Тогда
ω0 = 
ω (I,λ(t)) dt (51.9)
(в качестве нижнего предела можно взять любое вещественное значение t; интересующая нас мнимая часть ω0 от этого значения не зависит).
Интеграл же (51.5) с 
из (51.8) (и с одним членом ряда (51.4) в качестве ∂Λ/∂ω) принимает вид
ΔI = Re
ieiω 
. (51.10)
Отсюда видно, что в качестве конкурирующих (при отборе ближайшей к вещественной оси) особых точек фигурируют особенности (полюсы, точки ветвления) функций 
(t) и 1/ω(t). Напомним в этой связи, что заключение об экспоненциальной малости ΔI связано с предположением, что указанные функции не имеют вещественных особых точек.
