Условно-периодическое движение

Рассмотрим замкнутую систему со многими степенями свободы, совершающую финитное (по всем координатам) движение. Предположим при этом, что задача допускает полное разделение переменных в методе Гамильтона-Якоби. Это значит, что при соответствующем выборе координат укороченное действие представляет собой сумму

S₀ = S_i(q_i)                                                 (52.1)

функций, каждая из которых зависит только от одной из координат.

Поскольку обобщенные импульсы

p_i =  = ,

то каждая из функций S_i может быть представлена в виде

S_i = p_i dq_i .                                                      (52.2)

Эти функции неоднозначны. В силу финитности движения каждая из координат может пробегать значения лишь в определенном конечном интервале. При изменении q_i в этом интервале «вперед» и «назад» действие получает приращение

ΔS₀ = ΔS_i = 2I_i ,                                                            (52.3)

где I_i есть интеграл

I_i = p_i dq_i ,                                                   (52.4)

взятый по указанному изменению q_i .

Произведем теперь каноническое преобразование аналогично тому, как это было сделано в предыдущем параграфе для случая одной степени свободы. Новыми переменными будут «переменные действия» I_i и «угловые переменные»

ω_i =  = ,                             (52.5)

где производящей функцией снова является действие, выраженное в функции координат и величин I_i; уравнения движения в этих переменных

_i = 0,  _i =

дают

I_i = const,                                                             (52.6)

ω_i = t + const.                                             (52.7)

Мы найдем также аналогично (50.7), что полному изменению координаты q_i («вперед» и «назад») отвечает изменение соответствующего ω_i на 2:

Δω_i = 2.                                                              (52.8)

Другими словами, величины ω_i(q,I) являются неоднозначными функциями координат, которые при изменении последних с возвращением к первоначальным значениям могут изменяться на любое целое кратное от 2. Это свойство можно сформулировать также и как свойство функции ω_i(p,q) (выраженной через координаты и импульсы) в фазовом пространстве системы. Поскольку сами величины I_i, если их выразить через p и q, являются однозначными функциями этих переменных, то, подставив I_i(p,q) в ω_i(q,I), мы получим функцию ω_i(p,q), которая при обходе по любой замкнутой кривой в фазовом пространстве может измениться на целое кратное от 2 (либо на нуль).

Отсюда следует, что всякая однозначная функция состояния системы F(p,q), будучи выражена через канонические переменные, является периодической функцией угловых переменных с периодом 2 по каждой из них. Ее можно поэтому разложить в кратный ряд Фурье вида

F = ... exp [i (l₁ω₁ + ... +l_sω_s)]

(l₁,l₂,...,l_s — целые числа). Подставив же сюда угловые переменные как функции времени, найдем, что временная зависимость F определяется суммой вида

F = ... exp it l₁ + ... + l_s .         (52.9)