Страница 1 из 2
Очень распространенный тип движения механических систем представляют собой так называемые малые колебания, которые система совершает вблизи своего положения устойчивого равновесия. Рассмотрение этих движений мы начнем с наиболее простого случая, когда система имеет всего одну степень свободы.
Устойчивому равновесию соответствует такое положение системы, в котором ее потенциальная энергия U(q) имеет минимум; отклонение от такого положения приводит к возникновению силы —dU/dq, стремящейся вернуть систему обратно. Обозначим соответствующее значение обобщенной координаты через q0. При малых отклонениях от положения равновесия в разложении разности U(q)−U(q0) по степеням q−q0 достаточно сохранить первый неисчезающий член. В общем случае таковым является член второго порядка
U (q) − U (q0) ≈ 
(q − q0)2,
где k — положительный коэффициент (значение второй производной U”(q) при q=q0). Будем в дальнейшем отсчитывать потенциальную энергию от ее минимального значения (т.е. положим U(q0)=0) и введем обозначение
x = q − q0 (21.1)
для отклонения координаты от ее равновесного значения. Таким образом,
U (x) = 
. (21.2)
Кинетическая энергия системы с одной степенью свободы имеет в общем случае вид
α (q) 
2 = α (q) 
2.
В том же приближении достаточно заменить функцию α(q) просто ее значением при q=q0. Вводя для краткости обозначение
α (q0) = m,
получим окончательно следующее выражение для лагранжевой функции системы, совершающей одномерные малые колебания:
L = 
− 
. (21.3)
Соответствующее этой функции уравнение движения гласит:
m
+ kх = 0, (21.4)
или
+ ω2х = 0, (21.5)
где введено обозначение
ω = 
. (21.6)
Два независимых решения линейного дифференциального уравнения (21.5): cos ωt и sin ωt, так что его общее решение
x = c1 cos ωt + c2 sin ωt. (21.7)
