Страница 1 из 3
Перейдем к рассмотрению колебаний в системе, на которую действует некоторое переменное внешнее поле; такие колебания называют вынужденными в отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе так называемых свободных колебаний. Поскольку колебания предполагаются по-прежнему малыми, то тем самым подразумевается, что внешнее поле достаточно слабо, в противном случае оно могло бы вызвать слишком большое смещение x.
В этом случае наряду с собственной потенциальной энергией (1/2)kx2 система обладает еще потенциальной энергией Ue(x,t), связанной с действием внешнего поля. Разлагая этот дополнительный член в ряд по степеням малой величины x, получим
Ue (x,t) ≈ Ue(0,t) + x 
.
Первый член является функцией только от времени и потому может быть опущен в лагранжевой функции (как полная производная по t от некоторой другой функции времени). Во втором члене −∂Ue/∂x есть внешняя «сила», действующая на систему в положении равновесия и являющаяся заданной функцией времени; обозначим ее как F(t). Таким образом, в потенциальной энергии появляется член −xF(t), так что функция Лагранжа системы будет
L = 
− 
+ xF (t). (22.1)
Соответствующее уравнение движения есть
+ kx = F (t),
или
+ ω2x = 
F (t), (22.2)
где мы снова ввели частоту w свободных колебаний.
Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами получается в виде суммы двух выражений: x=x0+x1, где x0 — общее решение однородного уравнения, а x1 — частный интеграл неоднородного уравнения. В данном случае x0 представляет собой рассмотренные в предыдущем параграфе свободные колебания.
Рассмотрим имеющий особый интерес случай, когда вынуждающая сила тоже является простой периодической функцией времени с некоторой частотой 
:
F (t) = ƒ cos (t + β). (22.3)
Частный интеграл уравнения (22.2) ищем в виде x1=b cos(t+β) с тем же периодическим множителем. Подстановка в уравнение дает: b=ƒ⁄[m(ω2−2)]; прибавляя решение однородного уравнения, получим общий интеграл в виде
x = α cos (ωt + 
) + 
cos (t + β). (22.4)
Произвольные постоянные а и а определяются из начальных условий.
Таким образом, под действием периодической вынуждающей силы система совершает движение, представляющее собой совокупность двух колебаний — с собственной частотой системы ω и с частотой вынуждающей силы .
Решение (22.4) неприменимо в случае так называемого резонанса, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы. Для нахождения общего решения уравнения движения в этом случае перепишем выражение (22.4) с соответствующим переобозначением постоянных в виде
x = α cos (ωt + ) + [cos (t + β) − cos (ωt + β)].
