Страница 2 из 3
При 
→ω второй член дает неопределенность вида 0/0. Раскрывая ее по правилу Лопиталя, получим
x = α cos (ωt + 
) + 
sin (ωt + β). (22.5)
Таким образом, в случае резонанса амплитуда колебаний растет линейно со временем (до тех пор, пока колебания не перестанут быть малыми и вся излагаемая теория перестанет быть применимой).
Выясним еще, как выглядят малые колебания вблизи резонанса, когда =ω+ε, где ε — малая величина. Представим общее решение в комплексном виде, как
x = Aeiωt + Bei (ω+ε) = (A + Beiεt ) eiωt. (22.6)
Так как величина А + Beltl мало меняется в течение периода 2
/ω множителя eiωt, то движение вблизи резонанса можно рассматривать как малые колебания, но с переменной амплитудой.
Обозначив последнюю через C, имеем
C = |A + Beiεt|.
Представив A и B соответственно в виде αei и beiβ, получим
C2 = α2 + b2 + 2αb cos (εt + β − ). (22.7)
Таким образом, амплитуда колеблется периодически с частотой ε, меняясь между двумя пределами
|α − b| ≤ C ≤ α + b.
Это явление носит название биений.
Уравнение движения (22.2) может быть проинтегрировано и в общем виде при произвольной вынуждающей силе F(t). Это легко сделать, переписав его предварительно в виде
(
+ iωx ) − iω ( + iωx) = 
F (t )
или
− iωx = F (t ), (22.8)
где введена комплексная величина
ξ = + iωx. (22.9)
