Колебания систем со многими степенями свободы

Теория свободных колебаний систем с несколькими (s) степенями свободы строится аналогично тому, как были рассмотрены здесь одномерные колебания.

Пусть потенциальная энергия системы U как функция обобщенных координат q_i(i=1,2,...,s) имеет минимум при q_i=q_i0. Вводя малые смещения

x_i = q_i − q_i0                                                       (23.1)

и разлагая по ним и с точностью до членов второго порядка, получим потенциальную энергию в виде положительно определенной квадратичной формы

U + k_ik x_i x_k,    (23.2)

где мы снова отсчитываем потенциальную энергию от ее минимального значения. Поскольку коэффициенты k_ik и k_ki входят в (23.2) умноженными на одну и ту же величину x_i x_k, то ясно, что их можно всегда считать симметричными по своим индексам:

k_ik = k_{ki .}

В кинегической же энергии, которая имеет в общем случае вид

α_ik (q)_{i k}

(см. (5.5)), полагаем в коэффициентах q_i=q_i0 и, обозначая постоянные α_ik(q₀) через m_ik, получаем ее в виде положительно определенной квадратичной формы

m_{ik i k}.                                          (23.3)

Коэффициенты m_ik тоже можно всегда считать симметричными по индексам

m_ik = m_ki .

Таким образом, лагранжева функция системы, совершающей свободные малые колебания, имеет вид

L = (m_{ik i k} − k_ik x_i x_k).                                  (23.4)

Составим теперь уравнения движения. Для определения входящих в них производных напишем полный дифференциал функции Лагранжа

dL = (m_{ik i} d_k + m_{ik k} d_i − k_ik x_i dx_k − k_ik x_k dx_i).

Поскольку величина суммы не зависит, разумеется, от обозначения индексов суммирования, меняем в первом и третьем членах в скобках i на k, а k на i; учитывая при этом симметричность коэффициентов m_ik и k_ik, получим

dL = (m_{ik k} d_i − k_ik x_k dx_i).

Отсюда видно, что

 = m_{ik k},     = −m_ik x_{k .}

Поэтому уравнения Лагранжа

m_{ik k} + _{kik xk} = 0.                                   (23.5)