Колебания систем со многими степенями свободы

Они представляют собой систему s(i=1,2,...,s) линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

По общим правилам решения таких уравнений ищем s неизвестных функций x_k(t) в виде

x_k = A_ke^iωt ,                                                     (23.6)

где A_k — некоторые, пока неопределенные, постоянные. Подставляя (23.6) в систему (23.5), получаем по сокращении на e^iωt систему линейных однородных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять постоянные A_k:

(−ω²m_ik + k_ik)A_k = 0.                                 (23.7)

Для того чтобы эта система имела отличные от нуля решения, должен обращаться в нуль ее определитель

|k_ik − ω²m_ik| = 0.                                            (23.8)

Уравнение (23.8) — так называемое характеристическое уравнение — представляет собой уравнение степени s относительно ω². Оно имеет в общем случае s различных вещественных положительных корней ω², =1,2,...,s (в частных случаях некоторые из этих корней могут совпадать). Определенные таким образом величины ω называются собственными частотами системы.

Вещественность и положительность корней уравнения (23.8) заранее очевидны уже из физических соображений. Действительно, наличие у ω мнимой части означало бы наличие во временной зависимости координат x_k (23.6) (а с ними и скоростей x_k) экспоненциально убывающего или экспоненциально возрастающего множителя. Но наличие такого множителя в данном случае недопустимо, так как оно привело бы к изменению со временем полной энергии E = U + T системы в противоречии с законом ее сохранения.

В том же самом можно убедиться и чисто математическим путем. Умножив уравнение (23.7) на A_i* и просуммировав затем по i, получим

(−ω²m_ik + k_ik)A_i*A_k = 0,

откуда

ω² = .

Квадратичные формы в числителе и знаменателе этого выражения вещественны в силу вещественности и симметричности коэффициентов k_ik и m_ik действительно,

k_ikA_i*A_k= k_ikA_iA_k* = k_kiA_iA_k* = k_ikA_kA_i* .

Они также существенно положительны, а потому положительно и ω². После того как частоты ω найдены, подставляя каждое из них в уравнения (23.7), можно найти соответствующие значения коэффициентов A_k. Если все корни ω характеристического уравнения различны, то, как известно, коэффициенты A_k пропорциональны минорам определителя (23.8), в котором ω заменена соответствующим значением ω; обозначим эти миноры через Δ_k. Частное решение системы дифференциальных уравнений (23.5) имеет, следовательно, вид

x_k = Δ_kCe^iωt ,

где C — произвольная (комплексная) постоянная.