Колебания систем со многими степенями свободы

Общее же решение дается суммой всех s частных решений. Переходя к вещественной части, напишем его в виде

x_k = ReΔ_kCe^iωt ≡ Δ_kΘ,                               (23.9)

где мы ввели обозначение

Θ = Re {Ce^iωt }.                                             (23.10)

Таким образом, изменение каждой из координат системы со временем представляет собой наложение s простых периодических колебаний Θ₁, Θ₂, ..., Θ_s с произвольными амплитудами и фазами, но имеющих вполне определенные частоты.

Естественно возникает вопрос, нельзя ли выбрать обобщенные координаты таким образом, чтобы каждая из них совершала только одно простое колебание? Тамая форма общего интеграла (23.9) указывает путь к решению этой задачи.

В самом деле, рассматривая s соотношений (23.9) как систему уравнений с s неизвестными величинами Θ, мы можем, разрешив эту систему, выразить величины Θ₁, Θ₂, ..., Θ_s через координаты x₁, x₂, ..., x_s. Следовательно, величины Θ можно рассматривать как новые обобщенные координаты. Эти координаты называют нормальными (или главными), а совершаемые ими простые периодические колебания — нормальными колебаниями системы.

Нормальные координаты Θ удовлетворяют, как это явствует из их определения, уравнениям

+ Θ = 0.                                         (23.11)

Это значит, что в нормальных координатах уравнения движения распадаются на в независимых друг от друга уравнений. Ускорение каждой нормальной координаты зависит только от значения этой координаты, и для полного определения ее временной зависимости надо знать начальные значения только ее же самой и соответствующей ей скорости. Другими словами, нормальные колебания системы полностью независимы.

Из сказанного очевидно, что функция Лагранжа, выраженная через нормальные координаты, распадается на сумму выражений, каждое из которых соответствует одномерному колебанию с одной из частот сиа, т.е. имеет вид

L =  ( − Θ),                            (23.12)

где m — положительные постоянные. С математической точки зрения это означает, что преобразованием (23.9) обе квадратичные формы — кинетическая энергия (23.3) и потенциальная (23.2) — одновременно приводятся к диагональному виду.

Обычно нормальные координаты выбирают таким образом, чтобы коэффициенты при квадратах скоростей в функции Лагранжа были равны 1/2. Для этого достаточно определить нормальные координаты (обозначим их теперь через Q)равенствами

Q = Θ.                                                 (23.13)

Тогда

L = ( − ).

Все изложенное мало меняется в случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни. Общий вид (23.9), (23.10) интеграла уравнений движений остается таким же (с тем же числом s членов) с той лишь разницей, что соответствующие кратным частотам коэффициенты Δ_k уже не являются минорами определителя, которые, как известно, обращаются в этом случае в нуль.