Страница 4 из 4
Каждой кратной (или, как говорят, вырожденной) частоте отвечает столько различных нормальных координат, какова степень кратности, но выбор этих нормальных координат не однозначен. Поскольку в кинетическую и потенциальную энергии нормальные координаты (с одинаковым ω
) входят в виде одинаково преобразующихся сумм ∑
и ∑
, то их можно подвергнуть любому линейному преобразованию, оставляющему инвариантной сумму квадратов.
Весьма просто нахождение нормальных координат для трехмерных колебаний одной материальной точки, находящейся в постоянном внешнем поле. Помещая начало декартовой системы координат в точку минимума потенциальной энергии U(x,y,z), мы получим последнюю в виде квадратичной формы переменных x, y, z, а кинетическая энергия
Т = 
(
2 + 
2 + 
2)
(m — масса частиц) не зависит от выбора направления координатных осей. Поэтому соответствующим поворотом осей надо только привести к диагональному виду потенциальную энергию. Тогда
L = (2 + 2 + 2) − 
(k1x2 + k2y2 + k3z2), (23.14)
и колебания вдоль осей x, y, z являются главными с частотами
ω1 = 
, ω2 = 
, ω3 = 
.
В частном случае центрально-симметричного поля (k1=k2=k3=k, U=kr2⁄2) эти три частоты совпадают.
Использование нормальных координат дает возможность привести задачу о вынужденных колебаниях системы с несколькими степенями свободы к задачам об одномерных вынужденных колебаниях. Функция Лагранжа системы с учетом действующих на нее переменных внешних сил имеет вид
L = L0 + 
Fk(t)xk , (23.15)
где L0 — лагранжева функция свободных колебаний. Вводя вместо координат нормальные координаты, получим
L = 
( − 
) + ƒ(t)Q, (23.16)
где введено обозначение
ƒ(t) = Fk(t) 
.
Соответственно уравнения движения
+ Q = ƒ(t) (23.17)
будут содержать лишь по одной неизвестной функции Q(t).
