Затухающие колебания

До сих пор мы всегда подразумевали, что движение тел происходит в пустоте или что влиянием среды на движение можно пренебречь. В действительности при движении тела в среде последняя оказывает сопротивление, стремящееся замедлить движение. Энергия движущегося тела при этом в конце концов переходит в тепло или, как говорят, диссипируется.

Процесс движения в этих условиях уже не является чисто механическим процессом, а его рассмотрение требует учета движения самой среды и внутреннего теплового состояния как среды, так и тела. В частности, уже нельзя утверждать в общем случае, что ускорение движущегося тела является функцией лишь от его координат и скорости в данный момент времени, т.е. не существует уравнений движения в том смысле, какой они имеют в механике. Таким образом, задача о движении тела в среде уже не является задачей механики.

Существует, однако, определенная категория случаев, когда движение в среде может быть приближенно описано с помощью механических уравнений движения путем внедрения в них определенных дополнительных членов. Сюда относятся колебания с частотами, малыми по сравнению с частотами, характерными для внутренних диссипативных процессов в среде. При выполнении этого условия можно считать, что на тело действует сила трения, зависящая (для заданной однородной среды) только от его скорости.

Если к тому же эта скорость достаточно мала, то можно разложить силу трения по ее степеням. Нулевой член разложения равен нулю, поскольку на неподвижное тело не действует никакой силы трения, и первый неисчезающий член пропорционален скорости. Таким образом, обобщенную силу трения ƒ_тр, действующую на систему, совершающую одномерные малые колебания с обобщенной координатой x, можно написать в виде

ƒ_тр = −,

где  — положительный коэффициент, а знак минус показывает, что сила действует в сторону, противоположную скорости. Добавляя эту силу в правую часть уравнения движения, получим

m = −kx − .                                        (25.1)

Разделим его на m и введем обозначения

 = ,    = 2λ.                                       (25.2)

ω₀ есть частота свободных колебаний системы в отсутствие трения. Величина λ называется коэффициентом затухания.

Таким образом, имеем уравнение

+ 2λ + x = 0.                                           (25.3)

Следуя общим правилам решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами, полагаем x=e^rt и находим для r характеристическое уравнение

r² + 2λr +  = 0.

Общее решение уравнения (25.3) есть

x = c₁e^r₁t + c₂e^r₂t,          r_1,2 = −λ ± .

Здесь следует различать два случая.

Если λ<ω₀, то мы имеем два комплексно сопряженных значения r. Общее решение уравнения движения может быть представлено в этом случае, как

x = ReA exp(−λt + it),

где А — произвольная комплексная постоянная. Иначе можно написать:

x = αe^−λt cos (ωt +),  ω = ,                           (25.4)

где α и  — вещественные постоянные. Выражаемое этими формулами движение представляет собой так называемые затухающие колебания. Его можно рассматривать как гармонические колебания с экспоненциально убывающей амплитудой. Скорость убывания амплитуды определяется показателем λ, а «частота» ω колебаний меньше частоты свободных колебаний в отсутствие трения; при λ<<ω₀ разница между ω и ω₀ — второго порядка малости. Уменьшение частоты при трении следовало ожидать заранее, поскольку трение вообще задерживает движение.