Страница 2 из 3
Если λ<<ω0, то за время одного периода 2
/ω амплитуда затухающего колебания почти не меняется. В этом случае имеет смысл рассматривать средние (за период) значения квадратов координаты и скорости, пренебрегая при усреднении изменением множителя e−λt. Эти средние квадраты, очевидно, пропорциональны e−2λt. Поэтому и энергия системы в среднем убывает по закону
= E0e−2λt, (25.5)
где E0 — начальное значение энергии.
Пусть теперь λ>ω0. Тогда оба значения r вещественны, причем оба отрицательны. Общий вид решения
x = c1 ехр[−(λ −
)t] + c2 ехр[−(λ +)t]. (25.6)
Мы видим, что в этом случае, возникающем при достаточно большом трении, движение состоит в убывании |x|, т.е. в асимптотическом (при t→
) приближении к положению равновесия. Этот тип движения называют апериодическим затуханием.
Наконец, в особом случае, когда λ=ω0, характеристическое уравнение имеет всего один (двойной) корень r=−λ. Как известно, общее решение дифференциального уравнения имеет в этом случае вид
x = (c1 + c2t)e−λt. (25.7)
Это — особый случай апериодического затухания. Оно тоже не имеет колебательного характера.
Для системы со многими степенями свободы обобщенные силы трения, соответствующие координатам xi, являются линейными функциями скоростей вида
ƒi тр = −
ik 
k . (25.8)
Из чисто механических соображений нельзя сделать никаких заключений о свойствах симметрии коэффициентов ik по индексам i и k. Методами же статистической физики можно показать, что всегда
ik = ki . (25.9)
Поэтому выражения (25.8) могут быть написаны в виде производных
ƒi тр = − 
(25.10)
от квадратичной формы
F = 
ik 
i k, (25.11)
называемой диссипативной функцией.
Силы (25.10) должны быть добавлены к правой части уравнений Лагранжа
= 
− . (25 12)
