Страница 3 из 3
Диссипативная функция имеет сама по себе важный физический смысл — ею определяется интенсивность диссипации энергии в системе. В этом легко убедиться, вычислив производную по времени от механической энергии системы. Имеем
= 
i 
− L
= i − 
= −i 
.
Поскольку F — квадратичная функция скоростей, то в силу теоремы Эйлера об однородных функциях сумма в правой части равенства равна 2F. Таким образом,
dE /t = −2F, (25.13)
т.е. скорость изменения энергии системы дается удвоенной диссипативной функцией. Так как диссипативные процессы приводят к уменьшению энергии, то должно быть всегда F>0, т.е. квадратичная форма (25.11) существенно положительна.
Уравнения малых колебаний при наличии трения получаются добавлением сил (25.8) в правую часть уравнений (23.5):
mik 
k + kik xk = −
ik k . (25.14)
Положив в этих уравнениях
xk = Аk ert,
получим по сокращении на ert систему линейных алгебраических уравнений для постоянных Ak
(mik r2 + ik r + kik)Аk = 0. (25.15)
Приравняв нулю определитель этой системы, найдем характеристическое уравнение, определяющее значения r:
|mik r2 + ik r + kik| = 0. (25.16)
Это — уравнение степени 2s относительно r. Поскольку все его коэффициенты вещественны, то его корни либо вещественны, либо попарно комплексно сопряжены. При этом вещественные корни непременно отрицательны, а комплексные имеют отрицательную вещественную часть. В противном случае координаты и скорости, а с ними и энергия системы экспоненциально возрастали бы со временем, между тем как наличие диссипативных сил должно приводить к уменьшению энергии.
