Страница 1 из 2
Исследование вынужденных колебаний при наличии трения вполне аналогично произведенному здесь рассмотрению колебаний без трения. Мы остановимся здесь подробно на представляющем самостоятельный интерес случае периодической вынуждающей силы.
Прибавив в правой части уравнения (25.1) внешнюю силу ƒcos
t и разделив на m, получим уравнение движения в виде
+ 2λ
+ 
x = 
cos t. (26.1)
Решение этого уравнения удобно находить в комплексной форме, для чего пишем в правой части eit вместо cost:
+ 2λ + x = eit.
Частный интеграл ищем в виде х = Вегу1 и находим для В:
B = 
.
Представив B в виде beiδ, имеем для b и δ:
b = 
, tg δ = 
. (26.3)
Наконец, отделив вещественную часть от выражения Beit=bt+δ) получим частный интеграл уравнения (26.1), а прибавив к нему общее решение уравнения без правой части (которое мы напишем для определенности для случая ω0>λ), получим окончательно:
x = αe−λt cos (ωt + 
) + b cos (λt + δ). (26.4)
Первое слагаемое экспоненциально убывает со временем, так что через достаточно большой промежуток времени остается только второй член:
x = b cos (t + δ). (26.5)
Выражение (26.3) для амплитуды b вынужденного колебания хотя и возрастает при приближении частоты к ω0, но не обращается в бесконечность, как это было при резонансе в отсутствие трения. При заданной амплитуде силы ƒ амплитуда колебания максимальна при частоте =
; при λ<<ω0 это значение отличается от ω0 лишь на величину второго порядка малости.
Рассмотрим область вблизи резонанса. Положим =ω0+ε, где ε — малая величина; будем также считать, что λ<<ω0. Тогда в (26.2) можно приближенно заменить:
2 − = ( + ω0)( − ω0) ≈ 2ω0ε, 2i λ ≈ 2i λω0,
так что
B = − 
(26.6)
или
b = 
, tg δ = 
. (26.7)
