Страница 1 из 2
Существуют такие незамкнутые колебательные системы, в которых внешнее воздействие сводится к изменению со временем ее параметров.
Параметрами одномерной системы являются коэффициенты m и k в функции Лагранжа (21.3); если они зависят от времени, то уравнение движения гласит:
(m
) + kx = 0. (27.1)
Путем введения вместо t новой независимой переменной 
согласно d=dt/m(t) это уравнение приводится к виду
+ mkx = 0.
Поэтому фактически, без всякого органичения общности, достаточно рассмотреть уравнение движения вида
+ ω2(t)x = 0, (27.2)
которое получилось бы из (27.1) при m=const.
Вид функции ω(t) задается условиями задачи; предположим, что эта функция периодическая с некоторой частотой 
(и периодом T= 2
/). Это значит, что
ω(t + T) = ω(t),
а потому и все уравнение (27.2) инвариантно по отношению к преобразованию t→t+Т. Отсюда следует, что если x(t) есть решение уравнения, то и функция x(t+Т) тоже есть решение. Другими словами, если x1(t) и x2(t) — два независимых интеграла уравнения (27.2), то при замене t→t+Т они преобразуются линейным образом друг через друга. При этом можно выбрать x1 и x2 таким образом, чтобы их изменение при замене t на t+T сводилось просто к умножению на постоянный множитель
x1 (t + Т) = μ1x1(t), x2 (t + Т) = μ2x2(t).
Наиболее общий вид функций, обладающих таким свойством, есть
x1(t) = μ1t⁄T Π1(t), x2(t) = μ2t⁄T Π2(t), (27.3)
где Π1(t) и Π2(t) — тгасто периодитюские функции времени (с периодом T).
Постоянные μ1 и μ2 в этих функциях должны быть связаны друг с другом определенным соотношением. Действительно, умножив уравнения
1 + ω2(t)x1 = 0, 2 + ω2(t)x2 = 0
соответственно на x2 и x1 и вычтя их почленно одно из другого, получим
1x2 − 2x1 = (1x2 − x12) = 0
или
1x2 − x12 = const. (27.4)
Но при любых функциях x1(t) и x2(t) вида (27.3) выражение в левой части этого равенства умножается на μ1μ2 при изменении аргумента t на t+T. Поэтому ясно, что соблюдение равенства (27.4) во всяком случае требует, чтобы было
μ1μ2 = 1. (27.5)
Дальнейшие заключения о постоянных μ1, μ2 можно сделать, исходя из факта вещественности коэффициентов уравнения (27.2). Если x(t) есть какой-либо интеграл такого уравнения, то и комплексно сопряженная функция x*(t) должна удовлетворять тому же уравнению. Отсюда следует, что пара постоянных μ1, μ2 должна совпадать с парой 
, 
, т.е. должно быть либо μ1=, либо μ1 и μ2 вещественны. В первом случае, учитывая (27.5), имеем μ1=1/, т.е. |μ1|2=|μ2|2=1; постоянные μ1 и μ2 по модулю равны единице.
Во втором же случае два независимых интеграла уравнения (27.2) имеют вид
x1(t) = μt⁄T Π1(t), x2(t) = μ−t⁄T Π2(t) (27.6)
с отличным от единицы положительным или отрицательным вещественным числом μ. Одна из этих функций (первая или вторая при |μ|>1 и |μ|<1) экспоненциально возрастает со временем. Это значит, что состояние покоя системы (в положении равновесия x=0) будет неустойчивым: достаточно сколь угодно слабого отклонения от этого состояния, чтобы появившееся смещение x стало быстро возрастать со временем. Это явление называется параметрическим резонансом.
