Параметрический резонанс

Обратим внимание на то, что при строго равных нулю начальных значениях x и  они оставались бы равными нулю и в дальнейшем в отличие от обычного резонанса, в котором возрастание смещения со временем (пропорциональное t) происходит и от равного нулю начального значения.

Выясним условия возникновения параметрического резонанса в важном случае, когда функция ω(t) мало отличается от некоторой постоянной величины ω₀ и является простой периодической функцией

ω²(t) = (1 + h cost),                               (27.7)

где постоянная h<<1 (мы будем считать h положительной, чего всегда можно добиться надлежащим выбором начала отсчета времени). Как мы увидим ниже, наиболее интенсивным образом параметрический резонанс возникает, если частота функции ω(t) близка к удвоенной частоте ω₀. Поэтому положим

 = 2ω₀ + ε,

где ε<<ω₀.

Решение уравнения движения

 + [1 + h cos (2ω₀ + ε)t]x = 0                        (27.8)

будем искать в виде

x = α(t) cos ω₀ + t + b(t) sin ω₀ + t,                   (27.9)

где α(t) и b(t) — медленно (по сравнению со множителями cos и sin) меняющиеся функции времени. Такой вид решения, разумеется, не является точным. В действительности функция x(t) содержит также члены с частотами, отличающимися от ω₀ + ε/2 на целое кратное от 2ω₀ + ε; эти члены, однако, высшего порядка малости по h, и в первом приближении ими можно пренебречь.

Подставим (27.9) в (27.8) и произведем вычисления, сохраняя лишь члены первого порядка по ε; при этом предположим, что ~εα, ~εb (правильность этого предположения в условиях резонанса подтвердится результатом). Произведения тригонометрических множителей следует разложить в суммы

cos ω₀ + t • cos (2ω₀ + ε)t = cos 3ω₀ + t + cos ω₀ + t

и т.п. и в соответствии со сказанным выше опустим члены с частотами 3(ω₀+ε/2). В результате получим

−2 + bε + bω₀ sin ω₀ + t + 2 − αε + αω₀ cos ω₀ + t = 0.

Выполнение этого равенства требует одновременного обращения в нуль коэффициентов при каждом из множителей sin и cos. Отсюда получаем систему двух линейных дифференциальных уравнений для функций α(t) и b(t). Следуя общим правилам, ищем решение, пропорциональное e^st. Тогда

sα + ε + b = 0,

ε + α − sb = 0,

и условие совместности эти двух алгебраических уравнений дает

s² =  − ε².                                    (27.10)

Условие возникновения параметрического резонанса заключается в вещественности s (т.е. s²>0). Таким образом, резонанс имеет место в интервале

−  < ε <                                   (27.11)

вокруг частоты 2ω². Ширина этого интервала пропорциональна h, и такого же порядка осуществляющиеся в нем значения показателя усиления колебаний s.

Параметрический резонанс имеет место также при частотах  изменения параметра системы, близких к значениям вида 2ω₀/n, где n — любое целое число. Однако ширина резонансных областей (областей неустойчивости) с увеличением n быстро уменьшается — как hⁿ. Так же уменьшаются и значения показателя усиления колебаний в них.

Явление параметрического резонанса существует и при наличии слабого трения в системе, но область неустойчивости при этом несколько сужается. Как мы видели здесь, трение приводит к затуханию амплитуды колебаний по закону e^−λt. Поэтому усиление колебаний при параметрическом резонансе происходит, как e^(s−λ)t (с положительным s, даваемым решением задачи без трения), а граница области неустойчивости определяется равенством s−λ=0. Так, используя s из (27.10), получим для резонансной области вместо (27.11) неравенства

− < ε < .                  (27.12)

Обратим внимание на то, что при этом резонанс оказывается возможным не при сколь угодно малой амплитуде h, а лишь начиная с определенного «порога» h_k, равного в случае (27.12)

h_k = .

Можно показать, что для резонансов вблизи частот 2ω₀/n величина порога h_k пропорциональна λ^1⁄n, т.е. возрастает с увеличением n.