Страница 1 из 3
Вся изложенная выше теория малых колебаний основана на разложении потенциальной и кинетической энергий системы по координатам и скоростям с оставлением лишь членов второго порядка; при этом уравнения движения линейны, в связи с чем в этом приближении говорят о линейных колебаниях. Хотя такое разложение вполне законно при условии достаточной малости амплитуд колебаний, однако учет следующих приближений (так называемой ангармоничности или нелинейности колебаний) приводит к появлению некоторых хотя и слабых, но качественно новых особенностей движения.
Произведем разложение функции Лагранжа до членов третьего порядка. В потенциальной энергии при этом появятся члены третьей степени по координатам xi, в кинетической же энергии — члены, содержащие произведения скоростей и координат вида 
ikxl;это отличие от прежнего выражения (23.3) связано с оставлением членов первого порядка по x в разложении функций αik(q). Таким образом, функция Лагранжа будет иметь вид
L = 
(mik i k − kik xi xk) + 
nikl ikxl − 
liklxixkxl , (28.1)
где nikl, likl — новые постоянные коэффициенты.
Если от произвольных координат xi перейти к нормальным координатам (линейного приближения) Q
, то в силу линейности этого преобразования третья и четвертая суммы в (28.1) перейдут в аналогичные суммы, в которых вместо координат xi и скоростей i будут стоять Q и 
. Обозначив коэффициенты в этих суммах через λβ
и μβ, получим функцию Лагранжа в виде
L = 
(
− 
) + 
λββQ − μβQQβQ. (28.2)
Мы не станем выписывать полностью следующих из этой лагранжевой функции уравнений движения. Существенно, что они имеют вид
+ Q = ƒ (Q,,), (28.3)
где ƒ — однородные функции второго порядка от координат Q и их производных по времени.
Применяя метод последовательных приближений, ищем решение этих уравнений в виде
Q = 
+ 
, (28.4)
где <<, а функции удовлетворяют «невозмущенным» уравнениям
+ = 0,
т.е. представляют собой обычные гармонические колебания
= α cos (ωt + ). (28.5)
Сохраняя в следующем приближении в правой части уравнений (28.3) лишь члены второго порядка малости, получим для величин уравнения
+ = ƒ(,
,), (28.6)
где в правую часть должны быть подставлены выражения (28.5). В результате мы получим линейные неоднородные дифференциальные уравнения, правые части которых можно преобразовать к суммам простых периодических функций. Так, например,
= ααβ cos (ωt + ) cos (ωβt + β) = ααβ {cos [(ω + ωβ)t + + β]+ cos [(ω − ωβ)t + − β]}.
