Страница 2 из 3
Таким образом, в правых частях уравнений (28.6) находятся члены, соответствующие колебаниям с частотами, равными суммам и разностям собственных частот системы. Решение уравнений следует искать в виде, содержащем такие же периодические множители, и мы приходим к выводу, что во втором приближении на нормальные колебания системы с частотами ω
накладываются дополнительные колебания с частотами
ω ± ωβ (28.7)
(в том числе удвоенные частоты 2ω и частота 0, соответствующая постоянному смещению). Эти частоты называются комбинационными. Амплитуды комбинационных колебаний пропорциональны произведениям ααβ (или квадратам 
) соответствующих нормальных колебаний.
В следующих приближениях при учете членов более высокого порядка в разложении функции Лагранжа возникают комбинационные колебания с частотами, являющимися суммами и разностями большего числа частот ω. Кроме того, однако, возникает еще и новое явление.
Дело в том, что уже в третьем приближении среди комбинационных частот появляются частоты, совпадающие с исходными ω(ω+ωβ−ωβ). При применении описанного выше метода в правой части уравнений движения будут находиться, следовательно, резонансные члены, которые приведут к возникновению в решении членов с возрастающей со временем амплитудой. Между тем, физически очевидно, что в замкнутой системе в отсутствие внешнего источника энергии не может происходить самопроизвольное нарастание интенсивности колебаний.
В действительности в высших приближениях происходит изменение основных частот ω по сравнению с их «невозмущенными» значениями 
, фигурирующими в квадратичном выражении потенциальной энергии. Появление же возрастающих членов в решении связано с разложением типа
cos ( + Δω)t ≈ cos (t ) −t Δω sin (t ),
явно незаконным при достаточно больших t.
Поэтому при переходе к следующим приближениям метод последовательных приближений должен быть видоизменен так, чтобы фигурирующие в решении периодические множители с самого начала содержали точные, а не приближенные значения частот. Изменения же частот сами определятся в результате решения уравнений как раз из условия отсутствия резонансных членов.
Продемонстрируем этот метод на ангармонических колебаниях с одной степенью свободы, написав функцию Лагранжа в виде
L = 
− 
x2 − 
x3 − 
x4. (28.8)
Соответствующее уравнение движения
+ 
x = −x2 − βx3. (28.9)
