Страница 3 из 3
Мы будем искать его решение в виде ряда последовательных приближений
x = x(1) + x(2) + x(3),
причем
x(1) = α cos ωt (28.10)
с точным значением ω, которое само будем затем искать в виде ряда ω=ω0+ω(1)+ω(2)+... (начальную фазу в x(1) можно всегда обратить в нуль надлежащим выбором начала отсчета времени). При этом, однако, уравнение движения в виде (28.9) не вполне удобно, так как при подстановке в него (28.10) левая часть равенства не обратится строго в нуль. Поэтому перепишем его предварительно в эквивалентном виде
+
x = −
x2 − βx2 − (1 −
)
. (28.11)
Положив здесь x=x(1)+x(2), ω=ω0+ω(1) и опустив члены выше второго порядка малости, получим для x(2) уравнение
(2) +
x(2) = −
α2 cos2 ωt + 2ω0ω(1)α cos ωt = −
−
cos (2ωt) + 2ω0ω(1) cos ωt.
Условие отсутствия резонансного члена в правой части равенства дает просто ω(1)=0 в соответствии с изложенным в начале параграфа методом нахождения второго приближения. После этого, решая обычным способом неоднородное линейное уравнение, получим
x(2) = −
+
cos (2ωt). (28.12)
Далее, положив в (28.11) x=x(1)+x(2)+x(3), ω=ω0+ω(2), получим уравнение для x(3)
(3) +
x(3) = −2
x(1)x(2) − βx(1)3 + 2ω0ω(2)x(1)
или, подставив в правую часть выражения (28.10) и (28.12) после простого преобразования:
(3) +
x(3) = −α3 
+ 
cos (Зωt) + α
2ω0ω(2) +
−
α2β
cos ωt.
Приравнивая нулю коэффициент при резонансном множителе cos ωt, найдем поправку к основной частоте, пропорциональную квадрату амплитуды колебания:
ω(2) = 
− 
α2. (28.13)
Комбинационное же колебание третьего порядка
x(3) =

+ 
cos (3ωt). (28.14)