Ангармонические колебания

Мы будем искать его решение в виде ряда последовательных приближений

x = x⁽¹⁾ + x⁽²⁾ + x⁽³⁾,

причем

x⁽¹⁾ = α cos ωt                                            (28.10)

с точным значением ω, которое само будем затем искать в виде ряда ω=ω₀+ω⁽¹⁾+ω⁽²⁾+... (начальную фазу в x⁽¹⁾ можно всегда обратить в нуль надлежащим выбором начала отсчета времени). При этом, однако, уравнение движения в виде (28.9) не вполне удобно, так как при подстановке в него (28.10) левая часть равенства не обратится строго в нуль. Поэтому перепишем его предварительно в эквивалентном виде

+ x = −x² − βx² − (1 − ) .                        (28.11)

Положив здесь x=x⁽¹⁾+x⁽²⁾, ω=ω₀+ω⁽¹⁾ и опустив члены выше второго порядка малости, получим для x⁽²⁾ уравнение

⁽²⁾ + x⁽²⁾ = −α² cos² ωt + 2ω₀ω⁽¹⁾α cos ωt = −  − cos (2ωt) + 2ω₀ω⁽¹⁾ cos ωt.

Условие отсутствия резонансного члена в правой части равенства дает просто ω⁽¹⁾=0 в соответствии с изложенным в начале параграфа методом нахождения второго приближения. После этого, решая обычным способом неоднородное линейное уравнение, получим

x⁽²⁾ = − +  cos (2ωt).                         (28.12)

Далее, положив в (28.11) x=x⁽¹⁾+x⁽²⁾+x⁽³⁾, ω=ω₀+ω⁽²⁾, получим уравнение для x⁽³⁾

⁽³⁾ + x⁽³⁾ = −2x⁽¹⁾x⁽²⁾ − βx⁽¹⁾³ + 2ω₀ω⁽²⁾x⁽¹⁾

или, подставив в правую часть выражения (28.10) и (28.12) после простого преобразования:

⁽³⁾ + x⁽³⁾ = −α³ +  cos (Зωt) + α 2ω₀ω⁽²⁾ +  −  α²β cos ωt.

Приравнивая нулю коэффициент при резонансном множителе cos ωt, найдем поправку к основной частоте, пропорциональную квадрату амплитуды колебания:

ω⁽²⁾ = − α².                                     (28.13)

Комбинационное же колебание третьего порядка

x⁽³⁾ =   +  cos (3ωt).                         (28.14)