Резонанс в нелинейных колебаниях

Пусть теперь частота внешней силы

= 2ω₀ + ε.

В первом приближении имеем

x⁽¹⁾ = −  cos(2ω₀ + ε) t.

При подстановке x=x⁽¹⁾+x⁽²⁾ в уравнение (29.1) мы не получим членов, имеющих характер резонансной внешней силы, как это было в предыдущем случае. Возникает, однако, резонанс параметрического типа от члена третьего порядка, пропорционального произведению x⁽¹⁾x⁽²⁾. Если из всех нелинейных членов сохранить лишь этот, то для x⁽²⁾ получим уравнение

⁽²⁾ + 2λ⁽²⁾ + x⁽²⁾ = −2x⁽¹⁾x⁽²⁾

или

⁽²⁾ + 2λ⁽²⁾ + [1 − cos (2ω₀ + ε) t] x⁽²⁾ = 0,           (29.10)

т.е. уравнение типа (27.8) (с учетом трения), приводящее, как мы уже знаем, к неустойчивости колебаний в определенном интервале частот.

Однако для определения результирующей амплитуды колебаний это уравнение недостаточно. Установление конечной амплитуды связано с эффектами нелинейности, для учета которых в уравнении движения должны быть сохранены также нелинейные по x⁽²⁾ члены:

⁽²⁾ + 2λ⁽²⁾ + x⁽²⁾ + x⁽²⁾² + βx⁽²⁾³ =  cos [(2ω₀ + ε) t] x⁽²⁾. (29.11)

Исследование этой задачи можно очень упростить, отметив следующее обстоятельство. Положив в правой части уравнения (29.11)

x⁽²⁾ = b cos [(2ω₀ + ) t+ δ]

(где Ь — искомая амплитуда резонансных колебаний, δ — несущественный для дальнейшего постоянный сдвиг фазы) и представив произведение двух периодических множителей в виде суммы двух косинусов, получим здесь член

cos [(ω₀ + ) t+ δ]

обычного резонансного (по отношению к собственной частоте системы ω_o) характера. Поэтому задача снова сводится к рассмотренной в начале параграфа задаче об обычном резонансе в нелинейной системе с тем лишь отличием, что роль амплитуды внешней силы играет теперь величина ƒb/(З) (а вместо ε стоит ε/2). Произведя эту замену в уравнении (29.4), получим

b² [( − b²)² +λ²] =  .

Решая это уравнение относительно Ь, найдем следующие возможные значения амплитуды:

b = 0,                                                              (29.12)

b² = + ,                        (29.13)

b² =  − .                         (29.14)