Страница 3 из 4
Пусть теперь частота внешней силы
= 2ω0 + ε.
В первом приближении имеем
x(1) = −
cos(2ω0 + ε) t.
При подстановке x=x(1)+x(2) в уравнение (29.1) мы не получим членов, имеющих характер резонансной внешней силы, как это было в предыдущем случае. Возникает, однако, резонанс параметрического типа от члена третьего порядка, пропорционального произведению x(1)x(2). Если из всех нелинейных членов сохранить лишь этот, то для x(2) получим уравнение
(2) + 2λ
(2) +
x(2) = −2
x(1)x(2)
или
(2) + 2λ
(2) +
[1 −
cos (2ω0 + ε) t] x(2) = 0, (29.10)
т.е. уравнение типа (27.8) (с учетом трения), приводящее, как мы уже знаем, к неустойчивости колебаний в определенном интервале частот.
Однако для определения результирующей амплитуды колебаний это уравнение недостаточно. Установление конечной амплитуды связано с эффектами нелинейности, для учета которых в уравнении движения должны быть сохранены также нелинейные по x(2) члены:
(2) + 2λ
(2) +
x(2) +
x(2)2 + βx(2)3 =
cos [(2ω0 + ε) t] x(2). (29.11)
Исследование этой задачи можно очень упростить, отметив следующее обстоятельство. Положив в правой части уравнения (29.11)
x(2) = b cos [(2ω0 +
) t+ δ]
(где Ь — искомая амплитуда резонансных колебаний, δ — несущественный для дальнейшего постоянный сдвиг фазы) и представив произведение двух периодических множителей в виде суммы двух косинусов, получим здесь член
cos [(ω0 +
) t+ δ]
обычного резонансного (по отношению к собственной частоте системы ωo) характера. Поэтому задача снова сводится к рассмотренной в начале параграфа задаче об обычном резонансе в нелинейной системе с тем лишь отличием, что роль амплитуды внешней силы играет теперь величина
ƒb/(З
) (а вместо ε стоит ε/2). Произведя эту замену в уравнении (29.4), получим
b2 [(
−
b2)2 +λ2] =
.
Решая это уравнение относительно Ь, найдем следующие возможные значения амплитуды:
b = 0, (29.12)
b2 =

+ 
, (29.13)
b2 =

− 
. (29.14)