Рассмотрим движение частицы, находящейся одновременно под действием постоянного поля U и силы
ƒ = ƒ1 cos ωt + ƒ2 sin ωt, (30.1)
меняющейся со временем с большой частотой ω (ƒ1, ƒ2 — функции только координат). Под «большой» мы понимаем при этом частоту, удовлетворяющую условию ω>> 1/T, где T — порядок величины периода движения, которое частица совершала бы в одном поле U. По своей величине сила ƒ не предполагается слабой по сравнению с силами, действующими в поле U. Мы будем, однако, предполагать малым вызываемое этой силой колебательное смещение частицы (обозначенное ниже через ξ).
Для упрощения вычислений рассмотрим сначала одномерное движение в поле, зависящем лишь от одной пространственной координаты x. Тогда уравнение движения частицы
m
= −
+ ƒ. (30.2)
Из характера действующего на частицу поля заранее ясно, что ее движение будет представлять собой перемещение вдоль некоторой плавной траектории с одновременными малыми осцилляциями (с частотой ω) вокруг нее. Соответственно этому представим функцию x(t) в виде суммы
x(t) = X{t) + ξ(t), (30.3)
где x(t) представляет собой указанные малые осцилляции.
Среднее значение функции x(t) за время ее периода 2
/ω обращается в нуль, функция же X(t) за это время меняется очень мало. Обозначая такое усреднение чертой над буквой, имеем:
=X(t), т.е. функция X(t) описывает усредненное по быстрым осцилляциям «плавное» движение частицы. Выведем уравнение, определяющее эту функцию.
Подставляя (30.3) в (30.2) и разлагая по степеням ξ с точностью до членов первого порядка, получим
m
+ m
= −
− ξ
+ ƒ(X, t) + ξ
. (30.4)
В этом уравнении фигурируют члены различного характера осциллирующие и «плавные»; они должны, очевидно, взаимно сокращаться в каждой из этих двух групп в отдельности. Для осциллирующих членов достаточно написать
m
= ƒ(X, t), (30.5)
остальные содержат малый множитель ξ и потому малы по сравнению с написанными (что касается производной
, то она пропорциональна большой величине ω2 и потому не мала). Интегрируя уравнение (30.5) с функцией ƒ из (30.1) (при этом величина X рассматривается как постоянная), получим
ξ = −
. (30.6)
Усредним теперь уравнение (30.4) по времени (в указанном выше смысле). Поскольку средние значения первых степеней ƒ и обращаются в нуль, получим уравнение
m
= −
−
= −
− 
,
содержащее уже только функцию X(t). Перепишем его окончательно в виде
m
= −
, (30.7)
где «эффективная потенциальная энергия» определяется следующим образом:
Uэф = U + 
= U +
(
+
). (30.8)
Сравнивая это выражение с (30.6), легко видеть, что дополнительный (по отношению к полю U) член представляет собой не что иное, как среднюю кинетическую энергию осцилляционного движения:
Uэф = U +
. (30.9)
Таким образом, усредненное по осцилляциям движение частицы происходит так, как если бы, помимо постоянного поля U, действовало еще и дополнительное постоянное поле, квадратично зависящее от амплитуды переменного поля.
Полученный результат может быть легко обобщен на случай системы с любым числом степеней свободы, описываемой обобщенными координатами qi. Для эффективной потенциальной энергии получается (вместо (30.8)) выражение
Uэф = U + 


= U + 

, (30.10)
где величины
(вообще говоря, — функции координат) — элементы матрицы, обратной матрице коэффициентов αik в кинетической энергии системы (см. (5.5)).