Движение в быстро осциллирующем поле

Рассмотрим движение частицы, находящейся одновременно под действием постоянного поля U и силы

ƒ = ƒ₁ cos ωt + ƒ₂ sin ωt,                                                   (30.1)

меняющейся со временем с большой частотой ω (ƒ₁, ƒ₂ — функции только координат). Под «большой» мы понимаем при этом частоту, удовлетворяющую условию ω>> 1/T, где T — порядок величины периода движения, которое частица совершала бы в одном поле U. По своей величине сила ƒ не предполагается слабой по сравнению с силами, действующими в поле U. Мы будем, однако, предполагать малым вызываемое этой силой колебательное смещение частицы (обозначенное ниже через ξ).

Для упрощения вычислений рассмотрим сначала одномерное движение в поле, зависящем лишь от одной пространственной координаты x. Тогда уравнение движения частицы

m = − + ƒ.                                                               (30.2)

Из характера действующего на частицу поля заранее ясно, что ее движение будет представлять собой перемещение вдоль некоторой плавной траектории с одновременными малыми осцилляциями (с частотой ω) вокруг нее. Соответственно этому представим функцию x(t) в виде суммы

x(t) = X{t) + ξ(t),                                                              (30.3)

где x(t) представляет собой указанные малые осцилляции.

Среднее значение функции x(t) за время ее периода 2/ω обращается в нуль, функция же X(t) за это время меняется очень мало. Обозначая такое усреднение чертой над буквой, имеем: =X(t), т.е. функция X(t) описывает усредненное по быстрым осцилляциям «плавное» движение частицы. Выведем уравнение, определяющее эту функцию.

Подставляя (30.3) в (30.2) и разлагая по степеням ξ с точностью до членов первого порядка, получим

m + m = − − ξ + ƒ(X, t) + ξ  .            (30.4)

В этом уравнении фигурируют члены различного характера осциллирующие и «плавные»; они должны, очевидно, взаимно сокращаться в каждой из этих двух групп в отдельности. Для осциллирующих членов достаточно написать

m = ƒ(X, t),                                                             (30.5)

остальные содержат малый множитель ξ и потому малы по сравнению с написанными (что касается производной , то она пропорциональна большой величине ω² и потому не мала). Интегрируя уравнение (30.5) с функцией ƒ из (30.1) (при этом величина X рассматривается как постоянная), получим

ξ = − .                                                              (30.6)

Усредним теперь уравнение (30.4) по времени (в указанном выше смысле). Поскольку средние значения первых степеней ƒ и обращаются в нуль, получим уравнение

m = − − = − − ,

содержащее уже только функцию X(t). Перепишем его окончательно в виде

m = −  ,                                                          (30.7)

где «эффективная потенциальная энергия» определяется следующим образом:

U_эф = U +  = U + ( + ).                    (30.8)

Сравнивая это выражение с (30.6), легко видеть, что дополнительный (по отношению к полю U) член представляет собой не что иное, как среднюю кинетическую энергию осцилляционного движения:

U_эф = U + .                                                         (30.9)

Таким образом, усредненное по осцилляциям движение частицы происходит так, как если бы, помимо постоянного поля U, действовало еще и дополнительное постоянное поле, квадратично зависящее от амплитуды переменного поля.

Полученный результат может быть легко обобщен на случай системы с любым числом степеней свободы, описываемой обобщенными координатами q_i. Для эффективной потенциальной энергии получается (вместо (30.8)) выражение

U_эф = U + = U +  ,             (30.10)

где величины  (вообще говоря, — функции координат) — элементы матрицы, обратной матрице коэффициентов α_ik в кинетической энергии системы (см. (5.5)).