Страница 2 из 3
Заряд dе в заданном элементе объема является, вообще говоря, функцией от времени. Если выбрать начало координат в рассматриваемом элементе объема, то плотность заряда ρ=de(t)δ(R), где R — расстояние от начала координат. Таким образом, нам надо решить уравнение
Δ φ − 
= −4π de(t)δ(R). (62.5)
Везде, кроме начала координат, δ(R)=0, и мы имеем уравнение
Δ φ − = 0. (62.6)
Очевидно, что в рассматриваемом случае φ обладает центральной симметрией, т.е. есть функция только от R. Поэтому, если написать оператор Лапласа в сферических координатах, то (62.6) приобретет вид
R2 
− = 0.
Для решения этого уравнения сделаем подстановку φ=χ(R,t)/R. Тогда для χ мы получим
− 
= 0.
Но это есть уравнение плоских волн, решение которого имеет вид
χ = f1 t − 
+ f2 t + .
Поскольку мы ищем только частный интеграл уравнения, то достаточно взять только одну из функций f1 и f2. Обычно бывает удобным выбирать f2=0 (см. об этом ниже). Тогда потенциал φ везде, кроме начала координат, имеет вид
φ = 
(62.7)
Функция χ в этом равенстве пока произвольна; выберем ее теперь так, чтобы получить верное значение для потенциала также и в начале координат. Иначе говоря, мы должны подобрать χ так, чтобы в начале координат удовлетворялось уравнение (62.5). Это легко сделать, заметив, что при R→0 сам потенциал стремится к бесконечности, а потому его производные по координатам растут быстрее, чем производные по времени. Следовательно, R→0 в уравнении (62.5) можно пренебречь членом по сравнению с Δφ. Тогда оно переходит в известное уже нам уравнение (36.9), приводящее к закону Кулона. Таким образом, вблизи начала координат формула (62.7) должна переходить в закон Кулона, откуда следует, что χ(t)=de(t), т.е.
φ = 
.
