Страница 1 из 2
Определим потенциалы поля, создаваемого одним точечным зарядом, совершающим заданное движение по траектории r=r0(t).
Согласно формулам запаздывающих потенциалов поле в точке наблюдения Р(х, у, z) в момент времени t определяется состоянием движения заряда в предшествующий момент времени t', для которого время распространения светового сигнала из точки нахождения заряда r0(t') в точку наблюдения Р как раз совпадает с разностью t−t'. Пусть R(t)=r−r0(t) — радиус-вектор от заряда e в точку Р; вместе с r0(t) он является заданной функцией времени. Тогда момент t' определяется уравнением
t' + 
= t (63.1)
Для каждого значения t это уравнение имеет всего один корень t'.
В системе отсчета, в которой в момент времени t' частица покоится, поле в точке наблюдения в момент t дается просто кулоновским потенциалом, т. е.
φ = 
, А = 0. (63.2)
Выражения для потенциалов в произвольной системе отсчета мы получим теперь, написав такой 4-вектор, который бы при скорости v=0 давал для φ и А значения (63.2). Замечая, что согласно (63.1) φ из (63.2) можно написать также и в виде
φ = 
находим, что искомый 4-вектор есть
Аi =e 
, (63.3)
где uk — 4-скорость заряда, а 4-вектор Rk = [с(t−t'),г−г'], причем x', y', z', t' связаны друг с другом соотношением (63.1); последнее может быть записано в инвариантном виде как
RkRk = 0. (63.4)
Переходя теперь снова к трехмерным обозначениям, получим для потенциалов поля, создаваемого произвольно движущимся точечным зарядом, следующие выражения:
φ = 
, A = 
, (63.5)
где R — радиус-вектор, проведенный из точки нахождения заряда в точку наблюдения Р, и все величины в правые частях равенств должны быть взяты в момент времени t', определяющийся из (63.1). Потенциалы поля в виде (63.5) называются потенциалами Лиепара-Вихерта.
