Страница 2 из 2
Для вычисления напряженностей электрического и магнитного полей по формулам
Е = − 
− grad φ, H = rot А
надо дифференцировать φ и А по координатам x, y, z точки и моменту t наблюдения. Между тем формулы (63.5) выражают потенциалы как функции от t' и лишь через соотношение (63.1) — как неявные функции от х, у, z, t. Поэтому для вычисления искомых производных надо предварительно вычислить производные от t'. Дифференцируя соотношение R(t')=c(t−t') по t, имеем
= 
= − 
= с 
1 − 
(значение ∂R/∂t' получается дифференцированием тождества R2=R2 и подстановкой ∂R(t')/∂t=−v(t'); знак минус здесь связан с тем, что R есть радиус-вектор от заряда е в точку Р, а не наоборот). Отсюда
= 
. (63.6)
Аналогично, дифференцируя то же соотношение по координатам, найдем
grad t' = − grad R(t') = − grad t' + 
,
откуда
grad t' = − 
. (63.7)
С помощью этих формул не представляет труда вычислить поля Е и Н. Опуская промежуточные вычисления, приведем получающийся результат:
E = e 
R − 
R + 
RR − R 
, (63.8)
Н = 
[RЕ]. (63.9)
Здесь =∂v/∂t' все величины в правых частях равенств берутся в момент Интересно отметить, что магнитное поле оказывается везде перпендикулярным к электрическому.
Электрическое поле (63.8) состоит из двух частей различного характера. Первый член зависит только от скорости частицы (но не от ее ускорения) и на больших расстояниях меняется как 1/R2. Второй член зависит от ускорения, а при больших R меняется как 1/R. Мы увидим ниже, что этот последний член связан с излучаемыми частицей электромагнитными волнами.
Что касается первого члена, то, будучи независимым от ускорения, он должен соответствовать полю, создаваемому равномерно движущимся зарядом. Действительно, при постоянной скорости разность
Rt' − Rt' = Rt' − v(t − t')
есть расстояние Rt от заряда до точки наблюдения в самый момент наблюдения. Легко также убедиться непосредственной проверкой в том, что
Rt' − Rt' v = 
= Rt 
,
где θt — угол между Rt и v. В результате первый член в (63.8) оказывается совпадающим с выражением (38.8).
