Поле, создаваемое движущимися зарядами, можно разложить на монохроматические волны. Потенциалы отдельной монохроматической компоненты поля имеют вид φωe−iωt, Aωe−iωt. Плотности заряда и тока создающей поле системы тоже можно подвергнуть спектральному разложению. Ясно, что за создание определенной монохроматической компоненты поля ответственны соответствующие компоненты от ρ и j.
Для того чтобы выразить спектральные компоненты поля через компоненты плотностей заряда и тока, подставляем в (62.9) вместо φ и ρ соответственно φωe−iωt и ρωe−iωt. Мы находим тогда:
φωe−iωt = ρω dV.
Сокращая на e−iωt и вводя абсолютную величину волнового вектора k=ω/c, имеем
φω = ρω dV. (64.1)
Аналогично, для Aω получим
Aω = jω dV. (64.2)
Заметим, что формула (64.1) представляет собой обобщение решения уравнения Пуассона на более общее уравнение вида
Δφω + k2φω = −4πρω (64.3)
(получающееся из уравнения (62.4) при ρ, φ, зависящих от времени посредством множителя e−iωt).
При разложении в интеграл Фурье компонента Фурье плотности заряда есть
ρω = ρeiωtdt.
Подставляя это выражение в (64.1), получим
φω = ei(ωt+kR)dV dt. (64.4)
Здесь надо еще перейти от непрерывного распределения плотности зарядов к точечным зарядам, о движении которых фактически идет речь. Так, если имеется всего один точечный заряд, то полагаем
ρ = eδ[r − r0(t)],
где r0(t) — радиус-вектор заряда, являющийся заданной функцией времени. Подставляя это выражение в (64.4) и производя интегрирование по dV (сводящееся к замене r на r0(t)), получим
φω = e eiω[t+R(t)/c]dt, (64.5)
где теперь R(t) — расстояние от движущейся частицы до точки наблюдения. Аналогичным образом, для векторного потенциала получим
Aω = eiω[t+R(t)/c]dt, (64.6)
где v=r'0(t)— скорость частицы.
Формулы, аналогичные (64.5), (64.6), могут быть написаны и в случае, когда спектральное разложение плотностей заряда и тока содержит дискретный ряд частот. Так, при периодическом (с периодом Т=2π/ω0) движении точечного заряда спектральное разложение поля содержит лишь частоты вида nω0 и соответствующие компоненты векторного потенциала
An = einω0[t+R(t)/c]dt (64.7)
(и аналогично для φn). В обоих случаях (64.6), (64.7) компоненты Фурье определены.