Спектральное разложение запаздывающих потенциалов

Поле, создаваемое движущимися зарядами, можно разложить на монохроматические волны. Потенциалы отдельной монохроматической компоненты поля имеют вид φ_ωe^−iωt, A_ωe^−iωt. Плотности заряда и тока создающей поле системы тоже можно подвергнуть спектральному разложению. Ясно, что за создание определенной монохроматической компоненты поля ответственны соответствующие компоненты от ρ и j.

Для того чтобы выразить спектральные компоненты поля через компоненты плотностей заряда и тока, подставляем в (62.9) вместо φ и ρ соответственно φ_ωe^−iωt и ρ_ωe^−iωt. Мы находим тогда:

φ_ωe^−iωt = ρ_ω dV.

Сокращая на e^−iωt и вводя абсолютную величину волнового вектора k=ω/c, имеем

φ_ω = ρ_ω  dV.                                (64.1)

Аналогично, для A_ω получим

A_ω = j_ω  dV.                                (64.2)

Заметим, что формула (64.1) представляет собой обобщение решения уравнения Пуассона на более общее уравнение вида

Δφ_ω + k²φ_ω = −4πρ_ω                            (64.3)

(получающееся из уравнения (62.4) при ρ, φ, зависящих от времени посредством множителя e^−iωt).

При разложении в интеграл Фурье компонента Фурье плотности заряда есть

ρ_ω = ρe^iωtdt.

Подставляя это выражение в (64.1), получим

φ_ω = e^i(ωt+kR)dV dt.                 (64.4)

Здесь надо еще перейти от непрерывного распределения плотности зарядов к точечным зарядам, о движении которых фактически идет речь. Так, если имеется всего один точечный заряд, то полагаем

ρ = eδ[r − r₀(t)],

где r₀(t) — радиус-вектор заряда, являющийся заданной функцией времени. Подставляя это выражение в (64.4) и производя интегрирование по dV (сводящееся к замене r на r₀(t)), получим

φ_ω = e e^{iω[t+R(t)/c]}dt,               (64.5)

где теперь R(t) — расстояние от движущейся частицы до точки наблюдения. Аналогичным образом, для векторного потенциала получим

A_ω = e^{iω[t+R(t)/c]}dt,                      (64.6)

где v=r'₀(t)— скорость частицы.

Формулы, аналогичные (64.5), (64.6), могут быть написаны и в случае, когда спектральное разложение плотностей заряда и тока содержит дискретный ряд частот. Так, при периодическом (с периодом Т=2π/ω₀) движении точечного заряда спектральное разложение поля содержит лишь частоты вида nω₀ и соответствующие компоненты векторного потенциала

A_n =  e^{inω₀[t+R(t)/c]}dt                    (64.7)

(и аналогично для φ_n). В обоих случаях (64.6), (64.7) компоненты Фурье определены.