Страница 2 из 4
Будем исходить из выражений для запаздывающих потенциалов:
φ = 
dV, A = 
dV.
Если скорости всех зарядов малы по сравнению со скоростью света, то распределение зарядов не успевает сильно измениться за время R/c. Поэтому мы можем разложить ρt−R/c и jt−R/c в ряд по степеням R/c. Для скалярного потенциала находим, таким образом, с точностью до членов второго порядка:
φ = 
− 
ρ dV + 
RρdV
(ρ без индексов есть ρ в момент времени t; знаки дифференцирования но времени могут, очевидно, быть вынесены из-под знака интеграла). Но ∫ρdV есть постоянный полный заряд системы. Поэтому второй член в полученном выражении равен нулю, так что
φ = + RρdV. (65.3)
Аналогично можно поступить с А. Но выражение для векторного потенциала через плотность тока содержит уже само по себе 1/c, а при подстановке в функцию Лагранжа умножается еще раз на 1/c. Поскольку мы ищем функцию Лагранжа только с точностью до членов второго порядка, то в разложении А достаточно ограничиться только первым членом, т. е.
A = 
dV (65.4)
(мы подставили j = ρv).
Предположим сначала, что поле создается всего одним точечным зарядом e. Тогда имеем из (65.3), (65.4):
φ = 
+ 
, A = 
, (65.5)
где R — расстояние от заряда.
Выберем вместо φ и А другие потенциалы φ' и А', т.е. произведем калибровочное преобразование:
φ' = φ − 
, А' = А + grad f,
причем в качестве f выберем функцию
f = 
.
Тогда мы получим
φ' = , А' = + 
.
