Функция Лагранжа с точностью до членов второго порядка

Для вычисления А' заметим, что  = R. Операция означает здесь дифференцирование по координатам точки наблюдения, в которой ищется значение А'. Поэтому градиент R равен единичному вектору n, направленному от заряда e к точке наблюдения, так что

А' = + .

Далее пишем:

= =  − .

Но производная —  при заданной точке наблюдения есть скорость v заряда, а производную  легко определить, дифференцируя тождество R²=R², т.е. написав

R = R = −Rv.

Таким образом,

=

Подставляя это в выражение для А', находим окончательно:

φ' = ,  А' = .                    (65.6)

Если поле создается не одним, а несколькими зарядами, то надо, очевидно, просуммировать эти выражения по всем зарядам.

Подставляя их затем в (65.2), найдем функцию Лагранжа L_a заряда е_а (при заданном движении всех остальных зарядов). При этом нужно первый член в (65.2) тоже разложить по степеням υ_a/c, оставляя члены до второго порядка. Таким образом, мы находим

L_a =  +   − e_a  +

+   [v_av_b + (v_an_ab)(v_bn_ab)]

(суммирование производится по всем зарядам, за исключением e_a; n_ab — единичный вектор в направлении между e_b и e_a).