Функция Лагранжа с точностью до членов второго порядка

Отсюда уже не представляет труда найти функцию Лагранжа для всей системы. Легко сообразить, что эта функция равна не сумме L_a для всех зарядов, а имеет вид

L = +   − +

+ [v_av_b + (v_an_ab)(v_bn_ab)].                  (65.7)

Действительно, для каждого из зарядов при заданном движении всех остальных эта функция L переходит в приведенную выше L_a. Выражение (65.7) есть искомая функция Лагранжа системы зарядов с точностью до членов второго порядка.

Наконец, определим еще функцию Гамильтона системы зарядов в том же приближении. Это можно было бы сделать по общим правилам нахождения  по L; однако проще поступить следующим образом. Второй и четвертый члены в (65.7) представляют собой малую поправку к L⁽⁰⁾ (65.1). С другой стороны, из механики известно, что при небольшом изменении L и малые добавки к ним равны по величине и противоположны по знаку (причем изменение L рассматривается при заданных координатах и скоростях, а изменение  — при заданных координатах и импульсах).

Поэтому мы можем сразу написать , вычтя из

⁽⁰⁾ =  +

те же второй и четвертый члены из (65.7), предварительно заменив в них скорости на импульсы с помощью соотношений первого приближения v_a=р_а/m_а. Таким образом,

= + − −

− [p_ap_b + (p_an_ab)(p_bn_ab)].        (65.8)