Закон Кулона

Для постоянного электрического (электростатического) поля уравнения Максвелла имеют вид

div E = 4πρ,                           (36.1)

rot E = 0.                               (36.2)

Электрическое поле E выражается через один только скалярный потенциал соотношением

E = − grad φ.                         (36.3)

Подставляя (36.3) в (36.1), находим уравнение, которому удовлетворяет потенциал постоянного электрического поля:

Δφ = − 4πρ.                           (36.4)

Это уравнение носит название уравнения Пуассона. В пустоте, т. е. при ρ=0, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа

Δφ = 0.                                 (36.5)

Из последнего уравнения следует, в частности, что потенциал электрического поля нигде не может иметь ни максимума, ни минимума. Действительно, для того чтобы φ имело экстремальное значение, необходимо, чтобы все первые производные от φ по координатам были равны нулю, а вторые производные ∂²φ/∂x², ∂²φ/∂y², ∂²φ/∂z² имели одинаковый знак. Последнее, однако, невозможно, так как при этом не может быть удовлетворено уравнение (36.5).

Определим теперь поле, создаваемое точечным зарядом. Из соображений симметрии ясно, что оно будет направлено в каждой точке по радиус-вектору, проведенному из точки, в которой находится заряд e. Из тех же соображений ясно, что абсолютная величина E поля будет зависеть только от расстояния R до заряда. Для нахождения этой абсолютной величины применим уравнение (36.1) в интегральной форме (30.5). Поток электрического поля через шаровую поверхность с радиусом R, проведенную вокруг заряда e, равен 4πR²E; этот поток должен быть равен 4πe. Отсюда находим

E = .

 В векторном виде:

E = .                                     (36.6)

Таким образом, поле, создаваемое точечным зарядом, обратно пропорционально квадрату расстояния от этого заряда. Это так называемый закон Кулона. Потенциал этого поля

φ = .                                       (36.7)

Если мы имеем систему зарядов, то создаваемое ею поле, согласно принципу суперпозиции, равно сумме полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. В частности, потенциал такого поля равен

φ = ,

где R_a — расстояние от заряда e_a до точки, в которой мы ищем потенциал. Если ввести плотность заряда ρ, то эта формула приобретает вид

φ =  dV,                              (36.8)

где R — расстояние от элемента объема dV до данной точки («точки наблюдения») поля.

Отметим здесь математическое соотношение, получающееся при подстановке в (36.4) значений ρ и φ для точечного заряда, т. е. ρ=eδ(R) и φ=e/R. Мы находим тогда:

Δ = − 4πδ(R).                         (36.9)