Для постоянного электрического (электростатического) поля уравнения Максвелла имеют вид
div E = 4πρ, (36.1)
rot E = 0. (36.2)
Электрическое поле E выражается через один только скалярный потенциал соотношением
E = − grad φ. (36.3)
Подставляя (36.3) в (36.1), находим уравнение, которому удовлетворяет потенциал постоянного электрического поля:
Δφ = − 4πρ. (36.4)
Это уравнение носит название уравнения Пуассона. В пустоте, т. е. при ρ=0, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа
Δφ = 0. (36.5)
Из последнего уравнения следует, в частности, что потенциал электрического поля нигде не может иметь ни максимума, ни минимума. Действительно, для того чтобы φ имело экстремальное значение, необходимо, чтобы все первые производные от φ по координатам были равны нулю, а вторые производные ∂2φ/∂x2, ∂2φ/∂y2, ∂2φ/∂z2 имели одинаковый знак. Последнее, однако, невозможно, так как при этом не может быть удовлетворено уравнение (36.5).
Определим теперь поле, создаваемое точечным зарядом. Из соображений симметрии ясно, что оно будет направлено в каждой точке по радиус-вектору, проведенному из точки, в которой находится заряд e. Из тех же соображений ясно, что абсолютная величина E поля будет зависеть только от расстояния R до заряда. Для нахождения этой абсолютной величины применим уравнение (36.1) в интегральной форме (30.5). Поток электрического поля через шаровую поверхность с радиусом R, проведенную вокруг заряда e, равен 4πR2E; этот поток должен быть равен 4πe. Отсюда находим
E =
.
В векторном виде:
E =
. (36.6)
Таким образом, поле, создаваемое точечным зарядом, обратно пропорционально квадрату расстояния от этого заряда. Это так называемый закон Кулона. Потенциал этого поля
φ =
. (36.7)
Если мы имеем систему зарядов, то создаваемое ею поле, согласно принципу суперпозиции, равно сумме полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. В частности, потенциал такого поля равен
φ =
,
где Ra — расстояние от заряда ea до точки, в которой мы ищем потенциал. Если ввести плотность заряда ρ, то эта формула приобретает вид
φ =
dV, (36.8)
где R — расстояние от элемента объема dV до данной точки («точки наблюдения») поля.
Отметим здесь математическое соотношение, получающееся при подстановке в (36.4) значений ρ и φ для точечного заряда, т. е. ρ=eδ(R) и φ=e/R. Мы находим тогда:
Δ
= − 4πδ(R). (36.9)