Страница 1 из 2
Определим энергию системы зарядов. При этом будем исходить из представления об энергии поля, т. е. из выражения (31.5) для плотности энергии. Именно, энергия системы зарядов должна быть равна
U = 
E2dV,
где E есть поле, создаваемое этими зарядами, а интеграл берется по всему пространству. Подставляя сюда E=−gradφ, можно преобразовать U следующим образом:
U = − E gradφ dV = − div(Eφ) dV + φ div E dV.
Первый из этих интегралов, согласно теореме Гаусса, равен интегралу от Eφ по поверхности, ограничивающей объем интегрирования; но поскольку интегрирование производится по всему пространству, а на бесконечности поле равно нулю, то этот интеграл исчезает. Подставляя во второй интеграл divE=4πρ, находим следующее выражение для энергии системы зарядов:
U =
ρφ dV. (37.1)
Для системы точечных зарядов ea можно вместо интеграла написать сумму по зарядам:
U = 
eaφa, (37.2)
где φa — потенциал поля, создаваемого всеми зарядами в точке, где находится заряд ea.
Если применить полученную формулу к одной элементарной заряженной частице (скажем, электрону) и полю, производимому им самим, мы придем к выводу, что частица должна обладать «собственной» потенциальной энергией, равной eφ/2, где φ — потенциал производимого зарядом поля в месте, где он сам находится. Но мы знаем, что в теории относительности всякую элементарную частицу надо рассматривать как точечную. Потенциал же φ=e/R ее поля в точке R=0 обращается в бесконечность. Таким образом, согласно электродинамике электрон должен был бы обладать бесконечной «собственной» энергией, а следовательно, и бесконечной массой. Физическая бессмысленность этого результата показывает, что уже основные принципы самой электродинамики приводят к тому, что ее применимость должна быть ограничена определенными пределами.
Заметим, что ввиду бесконечности получающихся из электродинамики «собственной» энергии и массы в рамках самой классической электродинамики нельзя поставить вопрос о том, является ли вся масса электрона электромагнитной (т. е. связанной с электромагнитной собственной энергией частицы).
