Движение в кулоновом поле

Траектория определяется уравнением ∂S/∂M=const. Интегрирование в (39.3) приводит к следующим результатам для траектории:

а) если Mc>|α|:

(c²M² − α²)  = c  cosφ − α;  (39.4)

б) если Mc<|α|:

(α² — c²M²)  = ±c  chφ + α; (39.5)

в) если Mc=|α|:

= ² − m²c² − φ² .    (39.6)

Постоянная интегрирования заключена в произвольном выборе начала отсчета угла φ.

В (39.4) выбор знака перед корнем несуществен, так как тоже связан с выбором начала отсчета угла φ под знаком cos. Изображаемая этим уравнением траектория в случае притяжения (α<0) лежит целиком при конечных значениях r (финитное движение), если <mc². Если же >mc², то r может обращаться в бесконечность (движение инфинитно). Финитному движению соответствует в нерелятивистской механике движение по замкнутым орбитам (эллипсам). В релятивистской же механике траектория никогда не может быть замкнутой — из (39.4) видно, что при изменении угла φ на 2π расстояние r от центра не возвращается к исходному значению. Вместо эллипсов мы имеем здесь орбиты в виде незамкнутых «розеток». Таким образом, в то время как в нерелятивистской механике финитное движение в кулоновом поле происходит по замкнутым орбитам, в релятивистской механике кулоново поле теряет это свое свойство.

В (39.5) перед корнем должен быть выбран знак + при α<0 и знак − при α>0 (другой выбор знаков соответствовал бы измененному знаку перед корнем в (39.1)).

При α<0 траектории (39.5) и (39.6) представляют собой спирали с радиусом r, стремящимся к нулю при φ→∞. Время же, в течение которого происходит «падение» заряда в начало координат, конечно. Убедиться в этом можно, замечая, что зависимость координаты r от времени определяется равенством ∂S⁄∂=const; подставляя сюда (39.3), увидим, что время определяется интегралом, сходящимся при r→0.