Дипольный момент

Рассмотрим поле, создаваемое системой зарядов на расстояниях, больших по сравнению с размерами системы.

Введем систему координат с началом где-нибудь внутри системы зарядов. Радиус-векторы отдельных зарядов пусть будут r_a. Потенциал поля, создаваемого всеми зарядами в точке c радиус-вектором R₀, равен

φ =                                    (40.1)

(суммирование производится по всем зарядам); здесь R₀−r_a — радиус-векторы от зарядов e_a к точке, где мы ищем потенциал.

Мы должны исследовать это выражение для больших R₀ (R₀≫r_a). Для этого разложим его в ряд по степеням r_a/R₀, воспользовавшись формулой

f(R₀ − r) ≈ f(R₀) − r grad f(R₀)

(в grad дифференцирование производится по координатам конца вектора R₀). С точностью до членов первого порядка имеем

φ =  − e_ar_a grad .                       (40.2)

Сумма

d = e_ar_a                                            (40.3)

носит название дипольного момента системы зарядов. Существенно, что если сумма e_a всех зарядов равна нулю, то дипольный момент не зависит от выбора начала координат. Действительно, радиус-векторы r_a и r'_a одного и того же заряда в двух разных системах координат связаны друг с другом соотношением

r'_a = r_a + a,

где a —некоторый постоянный вектор. Поэтому если e_a=0, то дипольный момент в обеих системах одинаков:

d' = e_ar'_a = e_ar_a + a e_a = d.

Если обозначить посредством ,  и −,  положительные и отрицательные заряды системы и их радиус-векторы, то можно написать дипольный момент в виде

d = −  = R⁺  − R⁻ ,      (40.4)

где

R⁺ = ,  R⁻ =                                (40.5)

— радиус-векторы «центров зарядов» положительных и отрицательных. Если ==e, то

d = eR₊₋,                                                       (40.6)