Мультипольные моменты

В разложении потенциала по степеням 1/R₀

φ = φ⁽⁰⁾ + φ⁽¹⁾ + φ⁽²⁾ + ...                            (41.1)

член φ⁽ⁿ⁾ пропорционален 1/. Мы видели, что первый член φ⁽⁰⁾, определяется суммой всех зарядов; второй φ⁽¹⁾, называемый дипольным потенциалом системы, определяется ее дипольным моментом. Третий член разложения равен

φ⁽²⁾ = ex_αx_β ,                       (41.2)

где сумма берется по всем зарядам; индекс, указывающий номер заряда, мы здесь опустили; x_α — компоненты вектора r, а X_α — вектора R₀. Эта часть потенциала обычно называется квадрупольным потенциалом. Если сумма зарядов и дипольный момент системы равны нулю, то разложение начинается с φ⁽²⁾.

В выражение (41.2) входят шесть величин ex_αx_β. Легко, однако, видеть, что в действительности поле зависит не от шести независимых величин, а только от пяти. Это следует из того, что функция 1/R₀ удовлетворяет уравнению Лапласа:

Δ ≡ δ_αβ = 0.

Мы можем поэтому написать φ⁽²⁾ в виде

φ⁽²⁾ = e x_αx_β − r²δ_αβ .

Тензор

D_aß = e 3x_αx_β − r²δ_αβ                                (41.3)

называется квадрупольныль моментом системы. Из определения D_aß следует, что сумма его диагональных компонент равна нулю:

D_aa = 0.                                                            (41.4)

Симметричный тензор D_aß имеет поэтому всего пять независимых компонент. С его помощью можно написать:

φ⁽²⁾ =                                        (41.5)

или, произведя дифференцирование

=  − 

и учитывая, что δ_αβD_aß=D_aa=0,

φ⁽²⁾ = .                                             (41.6)

Как и всякий симметричный трехмерный тензор, тензор D_aß может быть приведен к главным осям. При этом в силу условия (41.4) в общем случае лишь два из трех главных значений независимы. Если же система зарядов симметрична относительно некоторой оси (ось z), то она же является одной из главных осей тензора D_aß, положение двух других осей в плоскости xy произвольно, и все три главных значения связаны между собой:

D_xx = D_yy = − D_zz.    (41.7)