Страница 2 из 2
Обозначая компоненту Dzz как D (ее называют обычно в этом случае просто квадрупольным моментом), получим потенциал в виде
φ(2) = 
(3соs2θ − 1) = 
P2 (соsθ), (41.8)
где θ — угол между R0 и осью z, а P2 — полином Лежандра.
Подобно тому как это было сделано в предыдущем параграфе для дипольного момента, легко убедиться в том, что квадрупольный момент системы не зависит от выбора начала координат, если равны нулю как полный заряд, так и дипольный момент системы.
Аналогичным образом можно было бы написать следующие члены разложения (41.1). l-й член разложения определяется тензором (так называемым тензором 2l-польного момента) l-го ранга, симметричным по всем своим индексам и обращающимся в нуль при свертывании по любой паре индексов; можно показать, что такой тензор обладает 2l+1 независимыми компонентами.
Мы напишем, однако, здесь общий член разложения потенциала в другом виде, использовав известную из теории сферических функций формулу
= 
= 
Pl (cos χ), (41.9)
где χ — угол между R0 и r. Введем сферические углы Θ, Ф и θ, φ образуемые соответственно векторами R0 и r фиксированными осями координат, и воспользуемся известной теоремой сложения для сферических функций:
Pl (cos χ) = 
Pl|m| (cosΘ) Pl|m| (cosθ) e−im(Ф−φ), (41.10)
где Plm — присоединенные полиномы Лежандра. Введем также сферические функции
Ylm(θ,φ) = (−1)mil
Plm (cosθ) eimφ, m ≥0, Yl,-|m|(θ,φ) = (−1)l−m 
. (41.11)
Тогда разложение (41.9) примет вид
=
Произведя такое разложение в каждом члене суммы (40.1), получим окончательно следующее выражение для l-го члена разложения потенциала:
φ(l) = 
(Θ,Ф), (41.12)
где
= 
earalYlm(θa,φa). (41.1З)
Совокупность 2l+1 величин составляет 2l-польный момент системы зарядов.
Определенные таким образом величины связаны с компонентами вектора дипольного момента d формулами
= idz, 
= ±
(dx ± idy). (41.14)
Величины же 
связаны с компонентами тензора Dαß соотношениями
= − 
Dzz, 
= ± 
(Dxz ± iDyz), 
= − 
(Dxx − Dyy ± 2iDxy). (41.15)
