Система зарядов во внешнем поле

Для случая, когда у одной из систем сумма зарядов отлична от нуля (и равна e), получаем аналогичным образом:

U = e ,                                            (42.8)

где R — вектор, направленный от диполя к заряду.

Следующий член разложения (42.1) равен

U⁽²⁾ =  ex_ax_β .

Здесь мы опустили индексы, указывающие номер заряда; значения вторых производных от потенциала берутся в начале координат. Но потенциал φ удовлетворяет уравнению Лапласа

= δ_aβ  = 0.

Поэтому мы можем написать:

U⁽²⁾ =  e (x_ax_β − δ_aβ r²),

или, окончательно,

U⁽²⁾ =  .                                 (42.9)

Общий член ряда (42.2) может быть выражен через определенные ранее 2^l-польные моменты . Для этого надо предварительно разложить потенциал φ(r) в ряд по шаровым функциям; общий вид такого разложения:

   φ(r) = r^l a_lm Y_lm(θ,φ),               (42.10)

где r, θ, φ — сферические координаты точки, а a_lm — постоянные коэффициенты. Составляя сумму (42.1) и учитывая определение (41.13), получим

U^(l) = a_{lm .}                                            (42.11)