Четырехмерные векторы

При этом ковариантные компоненты того же 4-вектора: A_i=(A⁰,−А), а квадрат 4-вектора: AⁱA_i=(A⁰)²−А². Так, для 4-радиус-вектора:

xⁱ = (ct, r),  x_i = (ct, −r),  xⁱx_i = c²t² − r².

У трехмерных векторов (в координатах x, y, z) нет, конечно, необходимости различать контра- и ковариантные компоненты. Везде (где это не сможет привести к недоразумениям) мы будем писать их компоненты A(=x,y,z) с индексами внизу, обозначая эти индексы греческими буквами. В частности, по дважды повторяющимся греческим индексам будет подразумеваться суммирование по трем значениям x, y, z (например, AB=AB.)

Четырехмерным тензором (4-тензором) 2-го ранга называется совокупность 16 величин A^ik, которые при преобразовании координат преобразуются как произведения компонент двух 4-векторов. Аналогичным образом определяются и 4-тензоры высших рангов.

Компоненты 4-тензора 2-го ранга могут быть представлены в трех видах: как контравариантные A^ik, ковариантные A_ik и смешанные Aⁱ_k (в последнем случае надо, вообще говоря, различать Aⁱ_k и A_i^k, т.е. следить за тем, какой именно—первый или второй — индекс стоит вверху, а какой внизу). Связь между различными видами компонент определяется по общему правилу: поднятие или опускание временного индекса (0) не меняет, а поднятие или опускание пространственного индекса (1,2,3) меняет знак компоненты. Так:

A₀₀ = A⁰⁰,  A₀₁ = −A⁰¹,  A₁₁ = A¹¹,...,
A⁰₀ = A⁰⁰,  A₀¹ = A⁰¹,  A⁰₁ = −A⁰¹,  A¹₁ = −A¹¹,...

По отношению к чисто пространственным преобразованиям девять компонент A¹¹, A¹²,... составляют трехмерный тензор. Три компоненты A⁰¹, A⁰², A⁰³ и три компоненты A¹⁰, A²⁰, A³⁰ составляют трехмерные векторы, а компонента A⁰⁰ является трехмерным скаляром.

Тензор A^ik называется симметричным, если A^ik=A^ki, и антисимметричным, если A^ik=−A^ki. У антисимметричного тензора все диагональные компоненты (т. е. компоненты A⁰⁰, A¹¹, ...) равны нулю, так как, например, должно быть A⁰⁰=−A⁰⁰. У симметричного тензора A^ik смешанные компоненты Aⁱ_k и A_kⁱ очевидно совпадают; мы будем писать в таких случаях просто , располагая индексы один над другим.

Во всяком тензорном равенстве выражения с обеих его сторон должны содержать одинаковые и одинаково расположенные (вверху или внизу) свободные, т.е. не немые, индексы. Свободные индексы в тензорных равенствах можно перемещать (вверх или вниз), но обязательно одновременно во всех членах уравнения. Приравнивание же контра- и ковариантных компонент различных тензоров «незаконно»; такое равенство, даже если бы оно случайно имело место в какой-либо системе отсчета, нарушилось бы при переходе к другой системе.

Из компонент тензора A^ik можно образовать скаляр путем образования суммы

Aⁱ_i = A⁰₀ + A¹₁ + A²₂ + A³₃

(при этом, конечно, Aⁱ_i=A_iⁱ). Такую сумму называют следом тензора, а об операции его образования говорят как о свертывании или упрощении тензора.

Операцией свертывания является и рассмотренное выше образование скалярного произведения двух 4-векторов: это есть образование скаляра AⁱB_i из тензора AⁱB_k. Вообще всякое свертывание по паре индексов понижает ранг тензора на 2. Например, Aⁱ_kli есть тензор 2-го ранга, Aⁱ_kB^k — 4-вектор, A^ik_ik — скаляр и т. д.

Единичным 4-тензором называется тензор , для которого имеет место равенство

Aⁱ = A^k                                              (б.З)

при любом 4-векторе Aⁱ. Очевидно, что компоненты этого тензора равны

=                                (6.4)

Его след:  = 4.