Четырехмерные векторы

Поднимая у тензора  один или опуская другой индекс, мы получим контра- или ковариантный тензор, который обозначают как g^ik или g_ik и называют метрическим тензором. Тензоры g^ik и g_ik имеют одинаковые компоненты, которые можно представить в виде таблицы:

(g^ik) = (g_ik) =                      (6.5)

(индекс i нумерует строки, а индекс k — столбцы в порядке значений 0,1,2,3). Очевидно, что

g_ikA^k = A_i,  g^ikA_k = Aⁱ.                         (б.б)

Скалярное произведение двух 4-векторов можно поэтому записать в виде

AⁱA_i = g_ikAⁱA^k = g^ikA_iA_k.                      (6.7)

Тензоры , g_ik, g^ik исключительны в том отношении, что их компоненты одинаковы во всех системах координат. Таким же свойством обладает и совершенно антисимметричный единичный 4-тензор четвертого ранга e^iklm. Так называется тензор, компоненты которого меняют знак при перестановке любых двух индексов, причем отличные от нуля компоненты равны ±1. Из антисимметричности следует, что все компоненты этого тензора, у которых хотя бы два индекса совпадают, равны нулю, так что отличны от нуля лишь те, у которых все четыре индекса различны. Положим

e⁰¹²³ = +1                                       (6.8)

(при этом e₀₁₂₃=−1). Тогда все отличные от нуля компоненты e^iklm равны +1 или −1, смотря по тому, четным или нечетным числом перестановок (транспозиций) могут быть приведены числа i, k, l, m к последовательности 0, 1, 2, 3. Число таких компонент равно 4!=24. Поэтому

e^iklme_iklm = −24.                               (6.9)

По отношению к поворотам системы координат величины e^iklm ведут себя как компоненты тензора; однако при изменении знака у одной или трех координат компоненты e^iklm, будучи определены одинаково для всех систем координат, не изменяются, в то время как компоненты тензора должны были бы изменить знак. Поэтому e^iklm есть, собственно говоря, не тензор, а, как говорят, псевдотензор. Псевдотензоры любого ранга, в частности псевдоскаляры, ведут себя как тензоры при всех преобразованиях координат, за исключением тех, которые не могут быть сведены к поворотам, т. е. за исключением отражений — изменений знаков координат, не сводимых к вращениям.

Произведения e^iklme^prst образуют 4-тензор 8-го ранга, причем уже тензор истинный; упрощением по одной или нескольким парам индексов из него получаются тензоры 6-го, 4-го и 2-го рангов. Все эти тензоры имеют одинаковый вид во всех координатных системах. Поэтому их компоненты должны выражаться в виде комбинаций произведений компонент единичного тензора  — единственного истинного тензора, компоненты которого во всех системах одинаковы. Эти комбинации легко составить, исходя из свойств симметрии по отношению к перестановкам индексов, которыми они должны обладать.

Если A^ik — антисимметричный тензор, то тензор A^ik и псевдотензор A*^ik=(1⁄2)e^iklmA_lm называются дуальными друг другу. Аналогично e^iklmA_m есть антисимметричный псевдотензор 3-го ранга, дуальный вектору Aⁱ. Произведение A^ikA*_ik дуальных тензоров есть, очевидно, псевдоскаляр.

В связи со сказанным напомним некоторые аналогичные свойства трехмерных векторов и тензоров. Совершенно антисимметричным единичным псевдотензором 3-го ранга называется совокупность величин e_αβγ, меняющих знак при перестановке любых двух индексов. Отличны от нуля лишь компоненты _eαβγ с тремя различными индексами. При этом полагаем e_xyz=1; остальные же равны 1 или −1, смотря по тому, четным или нечетным числом перестановок можно привести последовательность α, β, γ к последовательности x, y, z.

Произведения e_αβγe_λμν составляют истинный трехмерный тензор 6-го ранга и потому выражаются в виде комбинаций произведений компонент единичного трехмерного тензора δ_αβ.