Четырехмерная скорость

Из обычного трехмерного вектора скорости можно образовать и четырехмерный вектор. Такой четырехмерной скоростью (4-скоростью) частицы является вектор

uⁱ = .                                                (7.1)

Для нахождения его компонент замечаем, что согласно (3.1)

ds = c dt ,

где — обычная трехмерная скорость частицы. Поэтому

u¹ = =  =

и т. п. Таким образом,

uⁱ = , .                           (7.2)

Отметим, что 4-скорость есть величина безразмерная.

Компоненты 4-скорости не независимы. Замечая, что dx_idxⁱ=ds², имеем

uⁱu_i = 1.                                                         (7.3)

Геометрически uⁱ есть единичный 4-вектор касательной к мировой линии частицы.

Аналогично определению 4-скорости, вторую производную

wⁱ =  = 

можно назвать 4-ускорением. Дифференцируя соотношение (7.3), найдем

u_iwⁱ = 0,                                                     (7.4)

т. е. 4-векторы скорости и ускорения взаимно ортогональны.