Страница 2 из 5
В малых участках пространства и интервалах времени эйконал 
можно разложить в ряд; с точностью до членов первою порядка имеем
= 0 + r 
+ t 
(начало координат и начало отсчета времени выбраны в рассматриваемом участке пространства и интервале времени; значения производных берутся в начале координат). Сравнивая это выражение с (53.1), мы можем написать:
k = ≡ grad , ω = − , (53.3)
в соответствии с тем, что в каждом небольшом участке пространства (и в небольших интервалах времени) волну можно рассматривать как плоскую. В четырехмерном виде соотношения (53.3) напишутся как
ki = − 
, (53.4)
где ki — волновой 4-вектор.
Мы видели, что компоненты 4-вектора ki связаны соотношением kiki=0. Подставляя сюда (53.4), находим уравнение
= 0. (53.5)
Это уравнение, называемое уравнением эйконала, является основным уравнением геометрической оптики.
Уравнение эйконала можно вывести также и непосредственным предельным переходом λ→0 в волновом уравнении. Поле f удовлетворяет волновому уравнению
= 0.
Подставляя сюда f=aei, находим
ei + 2i 
ei + if 
− 
f = 0. (53.6)
Но эйконал как было выше указано, есть большая величина; поэтому можно пренебречь здесь тремя первыми членами по сравнению с четвертым, и мы приходим снова к уравнению (53.5).
