Дифракция

Применим формулу (59.2) для решения вопроса об изменении фазы при прохождении луча через точку его касания с каустикой. Выберем в качестве поверхности интегрирования в (59.2) какую-либо волновую поверхность и будем определять поле u_P в точке Р, лежащей на некотором данном луче на расстоянии x от точки его пересечения с выбранной волновой поверхностью (эту точку выберем в качестве начала координат О, а в качестве плоскости yz — плоскость, касательную к волновой поверхности в точке О). При интегрировании в (59.2) существен только небольшой участок волновой поверхности вблизи точки О. Если плоскости ху и xz выбраны совпадающими с главными плоскостями кривизны волновой поверхности в точке О, то вблизи этой точки уравнение поверхности есть

X =  + ,

где R₁ и R₂ — радиусы кривизны. Расстояние же R от точки волновой поверхности с координатами X, y, z до точки Р с координатами x, 0, 0 есть

R = ≈ x +   − + − .

Вдоль волновой поверхности поле и можно считать постоянным; то же касается и множителя 1/R. Поскольку мы интересуемся только изменением фазы волны, то коэффициент опускаем и пишем просто:

u_P ~  e^ikRdf_n ≈ exp ik   − dy ·exp ik − dz.               (59.3)

Центры кривизны волновой поверхности лежат на рассматриваемом луче в точках x=R₁ и x=R₂; это и есть точки касания лучом обеих каустик. Пусть R₂<R₁. При x<R₂ коэффициенты при i в показателях подынтегральных выражений в обоих интегралах положительны, и каждый из этих интегралов содержит множитель 1+i. Поэтому на участке луча до касания первой каустики имеем u_P~e^ikx. При R₂<x<R₁, т.е. на отрезке луча между двумя точками касания, интеграл по dy содержит множитель 1 + i, а интеграл по dz — множитель 1 − i, так что их произведение вовсе не содержит i. Таким образом, имеем здесь: u_P~−ie^ikx=e^i(kx−π/2), т.е. при прохождении луча вблизи первой каустики фаза дополнительно меняется на −π/2. Наконец, при x>R₁ имеем u_P~−e^ikx=e^i(kx−π),  т.е. при прохождении вблизи второй каустики фаза еще раз меняется на −π/2.