Дифракция Френеля

Поэтому для нахождения интенсивности стоящий перед интегралом множитель не существен, так как при умножении на сопряженное выражение он дает единицу. Очевидной подстановкой интеграл приводится к виду

u_p ~ e^iη2dη,              (60.3)

где

ω = d.    (60.4)

Таким образом, интенсивность I в точке Р равна

I = e^iη2dη= C(ω²) + + S(ω²) + ,    (60.5)

где

C(z) =  cos η²dη,  S(z) = sin η²dη

— так называемые интегралы Френеля. Формула (60.5) решает поставленную задачу, определяя интенсивность света как функцию от d; I₀ есть интенсивность в освещенной области в точках, достаточно удаленных от края тени, т. е. при ω≫1 (в пределе ω→∞ имеем С(∞)=S(∞)=1/2).

Области геометрической тени соответствуют отрицательные ω. Легко выяснить асимптотический вид функции I(ω) при больших по абсолютной величине отрицательных значениях ω. Для этого поступим следующим образом. Интегрируя по частям, имеем

e^iη2dη = e^iω2 +  e^iη2  .

Интегрируя в правой части равенства еще раз по частям и продолжая этот процесс, получим ряд по степеням 1⁄|ω|

e^iη2dη = e^iω2 − + − ....    (60.6)

Хотя бесконечный ряд такого вида и не является сходящимся, но ввиду того, что при больших |ω| величина его последовательных членов быстро падает, уже первый его член дает хорошее представление стоящей слева функции при достаточно больших |ω| (ряды такого рода называются асимптотическими). Таким образом, для интенсивности I(ω) (60.5) получим следующую асимптотическую формулу, пригодную для больших отрицательных значений ω:

I = .                              (60.7)

Мы видим, что в области геометрической тени, вдали от ее края интенсивность стремится к нулю обратно пропорционально квадрату расстояния от края тени.