Дифракция Фраунгофера

Особый интерес для физических применений имеют дифракционные явления, возникающие при падении на экраны плоскопараллельного пучка лучей. В результате дифракции пучок теряет параллельность и появляется свет, распространяющийся в направлениях, отличных от первоначального. Поставим задачу об определении распределения по направлениям интенсивности дифрагированного света на больших расстояниях позади экрана (такая постановка вопроса отвечает так называемой дифракции Фраунгофера). При этом мы снова ограничиваемся случаем малых отклонений от геометрической оптики, т.е. предполагаем малыми углы отклонения от первоначального направления лучей (углы дифракции).

Поставленную задачу можно было бы решить, исходя из общей формулы (59.2), переходя в ней к пределу бесконечно удаленных от экрана источника света и точки наблюдения. Характерной особенностью рассматриваемого случая является при этом то обстоятельство, что в интеграле, определяющем интенсивность дифрагированного света, существенна вся волновая поверхность, по которой производится интегрирование (в противоположность случаю дифракции Френеля, когда важны лишь участки волновой поверхности вблизи края экрана).

Проще, однако, рассмотреть поставленный вопрос заново, не прибегая к помощи общей формулы (59.2).

Обозначим через u₀ то поле позади экранов, которое имелось бы при строгом соблюдении геометрической оптики. Оно представляет собой плоскую волну, в поперечном сечении которой, однако, имеются участки (отвечающие «тени» непрозрачных экранов) с равным нулю полем. Обозначим буквой S ту часть плоскости поперечного сечения, на которой поле u₀ отлично от нуля; поскольку каждая такая плоскость является волновой поверхностью плоской волны, то u₀=const вдоль всей площади S.
В действительности, однако, волна с ограниченной площадью поперечного сечения не может быть строго плоской. В ее пространственное разложение Фурье входят компоненты с волновыми векторами различных направлений, что и является источником дифракции.

Разложим поле u₀ в двумерный интеграл Фурье по координатам y, z в плоскости поперечного сечения волны. Для компонент Фурье имеем

u_q = u₀e^−iqrdy dz,                         (61.1)

где q — постоянный вектор в плоскости yz; интегрирование производится фактически лишь по той части S плоскости yz, на которой u₀ отлично от нуля. Если k есть волновой вектор падаю k'=k+q.Таким образом, вектор q=k'−k определяет изменение волнового вектора света при дифракции. Поскольку абсолютные значения k=k'=ω/с, то малые углы дифракции θ_y, θ_z в плоскостях ху и xz связаны с составляющими вектора q соотношениями

q_y = θ_y,  q_z = θ_z.                             (61.2)

При малом отклонении от геометрической оптики компоненты разложения поля u₀ можно считать совпадающими с компонентами истинного поля дифрагированного света, так что формула (61.1) решает поставленную задачу.