Энергия и импульс

При малых скоростях p<<mc и приближенно

= mc² + ,

т. е. за вычетом энергии покоя получаем известное классическое выражение функции Гамильтона.

Из выражений (9.1) и (9.4) вытекает также следующее соотношение между энергией, импульсом и скоростью свободной частицы:

p =                                                         (9.8)

При v=c импульс и энергия частицы обращаются в бесконечность. Это значит, что частица с отличной от нуля массой m не может двигаться со скоростью света. В релятивистской механике, однако, могут существовать частицы с массой, равной нулю, движущиеся со скоростью света. Из (9.8) имеем для таких частиц:

p =                                                           (9.9)

Приближенно такая же формула справедлива и для частиц с отличной от нуля массой в так называемом ультрарелятивистском случае, когда энергия частицы  велика по сравнению с ее энергией покоя mc².

Выведем теперь все полученные соотношения в четырехмерном виде. Согласно принципу наименьшего действия

δS = mcδds = 0.

Раскроем выражение для δS. Для этого замечаем, что ds= и потому

δS = −mc = −mcu_idδxⁱ.

Интегрируя по частям, находим

δS = −mcu_idδxⁱ + mcδxⁱ ds.                      (9.10)

Как известно, для нахождения уравнений движения сравниваются различные траектории, проходящие через два заданных положения, т.е. на пределах (δxⁱ)_a=(δxⁱ)_b=0. Истинная траектория определяется из условия δS=0. Из (9.10) мы получили бы тогда уравнение du_i/ds=0, т. е. постоянство скорости свободной частицы в четырехмерном виде.

Для того чтобы найти вариацию действия как функцию от координат, надо считать заданной лишь одну точку a, так что (δxⁱ)_a=0. Вторую же точку надо считать переменной, но при этом рассматривать только истинные, т. е. удовлетворяющие уравнениям движения траектории. Поэтому интеграл в выражении (9.10) для δS равен нулю. Вместо (δxⁱ)_b пишем просто δxⁱ и, таким образом, находим

δS = −mcu_iδxⁱ.                                               (9.11)

Четырехмерный вектор

p_i = −                                                      (9.12)

называется 4-импульсом. Как известно из механики, производные ∂S/∂x, ∂S/∂y, ∂S/∂z — три компоненты вектора импульса частицы p, а производная — ∂S/∂t есть энергия частицы . Поэтому ковариантные компоненты 4-импульса, p_i=(/c, −p), а контравариантные компоненты

pⁱ = (, p).                                                   (9.13)

Из (9.11) видно, что компоненты 4-импульса свободной частицы равны

pⁱ = mcuⁱ.                                                    (9.14)

Подставив сюда компоненты 4-скорости из (7.2), убедимся в том, что для p и  действительно получаются выражения (9.1) и (9.4).