Энергия и импульс

Таким образом, в релятивистской механике импульс и энергия являются компонентами одного 4-вектора. Отсюда непосредственно вытекают формулы преобразования импульса и энергии от одной инерциальной системы отсчета к другой. Подставив в общие формулы (6.1) преобразования 4-вектора выражения (9.13), находим

p_x = ,  p_y = p'_y ,  p_z = p'_z ,   = ,     (9.15)

где p_x, p_y, p_z — компоненты трехмерного вектора p.

Из определения 4-импульса (9.14) и тождества uⁱu_i=1 имеем для квадрата 4-импульса свободной частицы:

pⁱp_i = m²c².                                                      (9.16)

Подставив сюда выражения (9.13), вернемся к соотношению (9.6).

По аналогии с обычным определением силы 4-вектор силы можно определить как производную:

gⁱ =  = mc .                                             (9.17)

Его компоненты удовлетворяют тождеству g_iuⁱ=0. Компоненты этого 4-вектора выражаются через обычный трехмерный вектор силы f=dp/dt согласно

gⁱ = , .                  (9.18)

Временная компонента оказывается связанной с работой силы.

Релятивистское уравнение Гамильтона-Якоби получается подстановкой в (9.16) производных — ∂S/∂xⁱ вместо p_i:

≡ g^ik  = m²c²,                             (9.19)

или, если написать сумму в явном виде

− − − = m²c².          (9.20)

Переход к предельному случаю классической механики в уравнении (9.20) совершается следующим образом. Прежде всего необходимо учесть, как и при соответствующем переходе в (9.7), что в релятивистской механике энергия частицы содержит член mc², которого нет в классической механике. Поскольку действие S связано с энергией выражением =−∂S/∂t, то при переходе к классической механике надо вместо S ввести новое действие S' согласно соотношению

S = S' − mc²t.

Подставляя его в (9.20), находим

−  − + + = 0.

В пределе при c→ это уравнение переходит в известное классическое уравнение Гамильтона-Якоби.