Преобразование функции распределения

Вернемся к инвариантному выражению (10.1). Если ввести «сферические координаты» в импульсном пространстве, то элемент объема dp_xdp_ydp_z заменится на p²dpdo, где do—элемент телесного угла для направлений вектора p. Замечая, что pdp=d/c² (согласно (9.6)), имеем

= .

Таким образом, находим, что инвариантно также и выражение

pddo.                                             (10.3)

В другом аспекте понятие о функции распределения фигурирует в кинетической теории газов: произведение f(r,p)dp_xdp_ydp_zdV есть число частиц, находящихся в заданном элементе объема dV и обладающих импульсами в заданных интервалах dp_x, dp_y, dp_z. Функцию f(r,p) называют функцией распределения в фазовом пространстве (пространство координат и импульсов частицы), а произведение дифференциалов dτ=d³pdV — элементом объема этого пространства. Выясним закон преобразования этой функции.

Введем наряду с двумя системами отсчета K и K' еще и систему K₀, в которой частицы с рассматриваемым импульсом покоятся; именно по отношению к этой системе определяется собственный объем dV₀ элемента, занимаемого данными частицами. Скорости систем K и K' относительно системы K₀ совпадают, по определению, со скоростями v и v', которыми обладают эти частицы в системах K и K'. Согласно (4.6) имеем поэтому

dV = dV₀,  dV' = dV₀,

откуда

= 

Перемножив это равенство с равенством d³p⁄d³p'=⁄', найдем, что

dτ = dτ'                                        (10.4)

т. е. элемент фазового объема инвариантен. Поскольку инвариантом является, по определению, также и число частиц fdτ, то мы приходим к выводу об инвариантности функции распределения в фазовом пространстве:

f'(r',p') = f(r,p),                               (10.5)

где r', p' связаны с r, p формулами преобразования Лоренца.