Инвариантное сечение

Как известно, различные процессы рассеяния характеризуются их эффективными сечениями (или просто сечениями), определяющими числа столкновений, происходящих в пучках сталкивающихся частиц.

Пусть мы имеем два сталкивающихся пучка; обозначим через n₁ и n₂ плотности частиц в них (т. е. числа частиц в единице объема), а через v₁ и v₂ — скорости частиц. В системе отсчета, в которой частицы 2 покоятся (или, как говорят короче, в системе покоя частиц 2), мы имеем дело со столкновением пучка частиц 1 с неподвижной мишенью. При этом, согласно обычному определению сечения σ, число столкновений, происходящих в объеме dV в течение времени dt, равно

dv = σν_отнn₁n₂dV dt,

где ν_отн — величина скорости частиц 1 в системе покоя частиц 2 (именно так определяется в релятивистской механике относительная скорость двух частиц).

Число dv по самому своему существу есть величина инвариантная. Поставим себе целью выразить ее в виде, пригодном в любой системе отсчета:

dv = An₁n₂dV dt,                         (12.1)

где A — подлежащая определению величина, о которой известно, что в системе покоя одной из частиц она равна ν_отнσ. При этом мы будем всегда понимать σ именно как сечение в системе покоя одной из частиц, т.е., по определению, как величину инвариантную. По определению, инвариантной является и относительная скорость ν_отн.

В выражении (12.1) произведение dV dt есть величина инвариантная. Поэтому должно быть инвариантным и произведение An₁n₂.

Закон преобразования плотности частиц n легко найти, заметив, что инвариантно число частиц n dV в заданном элементе объема dV. Написав n dV=n₀ dV₀ (индекс 0 указывает систему покоя частиц) и воспользовавшись формулой (4.6) для преобразования объема, найдем

n = ,                                    (12.2)

или n=n₀/m, где — энергия, а m — масса частиц.

Поэтому утверждение об инвариантности произведения An₁n₂ эквивалентно инвариантности выражения A₁₂. Более удобно представить это условие в виде

A  = A = inv,                                 (12.3)

где в знаменателе стоит тоже инвариантная величина — произведение 4-импульсов обеих частиц.

В системе покоя частиц 2 имеем ₂=m₂, p₂=0, так что инвариантная величина (12.3) сводится к A. С другой стороны, в этой системе A=σν_отн. Таким образом, в произвольной системе отсчета

A = σν_отн .                                                   (12.4)