Страница 1 из 3
Рассмотрим, с точки зрения релятивистской механики, упругое столкновение частиц. Обозначим импульсы и энергии двух сталкивающихся частиц (с массами m1 и m2) через p1, 
1 и p2, 2; значения величин после столкновения будем отмечать штрихом.
Законы сохранения энергии и импульса при столкновении можно записать вместе в виде уравнения сохранения 4-импульса:
+ 
= 
+ 
(13.1)
Составим из этого 4-векторного уравнения инвариантные соотношения, которые будут удобными для дальнейших вычислений. Для этого перепишем (13.1) в виде
+ − =
и возведем обе части равенства в квадрат (т.е. напишем их скалярные произведения самих на себя). Замечая, что квадраты 4-импульсов и равны 
, а квадраты и равны 
, получим
+ 
− p1i − p2i = 0. (13.2)
Аналогичным образом, возведя в квадрат равенство +−=, получим
+ − p2i − p1i = 0. (13.3)
Рассмотрим столкновение в системе отсчета (л-система), в которой до столкновения одна из частиц (частица m2) покоилась.
Тогда p2=0, 2=m2 и фигурирующие в (13.2) скалярные произведения равны
= 1m2, p2i = m2
, p1i = 1 − p1
cos θ1, (13.4)
где θ1 — угол рассеяния налетающей частицы m1. Подставив эти выражения в (13.2), получим
cos θ1 = 
. (13.5)
Аналогичным образом из (13.3) найдем
cos θ2 = 
, (13.6)
где θ2 — угол, образуемый импульсом отдачи 
с импульсом налетающей частицы p1.
Формулы (13.5), (13.6) связывают углы рассеяния обеих частиц в л-системе с изменениями их энергии при столкновениях. Обращая эти формулы, можно выразить энергии , 
через угол θ1 или θ2. Так, подставив в (13.6) p1=
, 
=
и возведя равенство в квадрат, после простого вычисления получим
= m2 
. (13.7)
Обращение же формулы (13.5) приводит в общем случае к весьма громоздкому выражению через θ1.
Отметим, что если m1>m2, т.е. налетающая частица тяжелее покоящейся, то угол рассеяния θ1 не может превышать некоторого максимального значения. Элементарным вычислением легко найти, что это значение определяется равенством
sin θ1max = 
, (13.8)
совпадающим с известным классическим результатом.
