Момент импульса

Как известно из классической механики, у замкнутой системы, кроме энергии и импульса, сохраняется еще и момент импульса, т. е. вектор

M = [rp]

(r и p — радиус-вектор и импульс частицы; суммирование производится по всем частицам, входящим в состав системы). Сохранение момента является следствием того, что функция Лагранжа для замкнутой системы в силу изотропии пространства не меняется при повороте системы как целого.

Проделав теперь аналогичный вывод в четырехмерном виде, мы получим релятивистское выражение для момента. Пусть xⁱ — координаты одной из частиц системы. Произведем бесконечно малый поворот в четырехмерном пространстве. Это есть преобразование, при котором координаты xⁱ принимают новые значения x'ⁱ, так что разности x'ⁱ−xⁱ являются линейными функциями:

x'ⁱ − xⁱ = x_k δ Ω^ik,                                            (14.1)

с бесконечно малыми коэффициентами δΩ_ik. Компоненты 4-тензора связаны при этом соотношениями, возникающими в результате требования, чтобы при повороте оставалась неизменной длина 4-радиус-вектора, т. е. чтобы было x'_ix'ⁱ=x_ixⁱ. Подставляя сюда x'ⁱ из (14.1) и отбрасывая члены, квадратичные по δΩ_ik, как бесконечно малые высшего порядка, находим

xⁱx^k δΩ_ik = 0.

Это равенство должно выполняться при произвольных xⁱ. Поскольку xⁱx^k — симметричный тензор, δΩ_ik должны составлять антисимметричный тензор (произведение симметричного тензора на антисимметричный, очевидно, тождественно равно нулю):

δΩ_ki = −δΩ_ik.                                                   (14.2)

Изменение действия при бесконечно малом изменении координат начальной a и конечной b точек траектории имеет вид

δS = − pⁱδx_i

(суммирование производится по всем частицам системы). В случае рассматриваемого нами сейчас поворота δx_i=δΩ_ikx^k, а потому

δS = − δΩ_ik pⁱx^k_.

Если разбить тензор pⁱx^k на симметричную и антисимметричную части, то первая из них при умножении на антисимметричный тензор тождественно дает нуль. Поэтому, выделяя из pⁱx^k антисимметричную часть, мы можем написать предыдущее равенство в виде

δS = − δΩ_ik  (pⁱx^k ₋ p^kxⁱ) .                                  (14.3)

Для замкнутой системы действие, будучи инвариантом, не меняется при повороте в 4-пространстве. Это означает, что должны быть равны нулю коэффициенты при δΩ_ik в (14.3):

(pⁱx^k ₋ p^kxⁱ)_b = (pⁱx^k ₋ p^kxⁱ)_a.

Мы видим, что у замкнутой системы остается постоянным при движении, т.е. сохраняется, тензор

M^ik = (pⁱx^k ₋ p^kxⁱ).                                              (14.4)

Этот антисимметричный тензор носит название 4-тензора момента.