Упругие столкновения частиц

Столкновение двух частиц называют упругим, если оно не сопровождается изменением их внутреннего состояния. Соответственно этому при применении к такому столкновению закона сохранения энергии можно не учитывать внутренней энергии частиц.

Проще всего столкновение выглядит в системе отсчета, в которой центр инерции обеих частиц покоится (ц-система); будем отличать, как и в предыдущем параграфе, индексом 0 значения величин в этой системе. Скорости частиц до столкновения в ц-системе связаны с их скоростями v₁ и v₂ в лабораторной системе соотношениями

v₁₀ = v,   v₂₀ = − v,

где v = v₁ − v₂ (см. (13.2)).

В силу закона сохранения импульса импульсы обеих частиц остаются после столкновения равными по величине и противоположными по направлению, а в силу закона сохранения энергии остаются неизменными и их абсолютные величины. Таким образом, результат столкновения сводится в ц-системе к повороту скоростей обеих частиц, остающихся взаимно противоположными и неизменными по величине. Если обозначить через n₀ единичный вектор в направлении скорости частицы m₁ после столкновения, то скорости обеих частиц после столкновения (отличаем их штрихом) будут

v’₁₀ = n₀,   v’₂₀ = − n₀.                    (17.1)

Чтобы возвратиться к лабораторной системе отсчета, надо добавить к этим выражениям скорость V центра инерции. Таким образом, для скоростей частиц в л-системе после столкновения получаем

v’₁ = n₀ +  ,  v’₂ = − n₀ +  .        (17.2)

Этим исчерпываются сведения, которые можно получить о столкновении, исходя из одних только законов сохранения импульса и энергии. Что касается направления вектора n₀, то он зависит от закона взаимодействия частиц и их взаимного расположения во время столкновения.

Полученные результаты можно интерпретировать геометрически. При этом удобнее перейти от скоростей к импульсам. Умножив равенства (17.2) соответственно на m₁ и m₂, получим

p’₁ = mn₀ +  (p₁ + p₂), р’₂ = −mn₀ +  (p₁ + p₂)  (17.3)

(m = m₁m₂/(m₁ + m₂) — приведенная масса). Построим окружность с радиусом m и произведем указанное на рис. 15 построение.

Рис. 15

Если единичный вектор по направлен вдоль , то векторы  и  дают соответственно импульсы p’₁ и р’₂. При заданных p’₁ и р’₂ радиус окружности и положение точек А и В неизменны, а точка С может иметь любое положение на окружности.

Рассмотрим подробнее случай, когда одна из частиц (пусть это будет частица m₂) до столкновения покоилась. В этом случае длина ОВ =   p₁ = m совпадает с радиусом, т.е. точка В лежит на окружности. Вектор же  совпадает с импульсом p₁ первой частицы до рассеяния. При этом точка А лежит внутри (если m₁<m₂) или вне (если m₁>m₂) окружности. Соответствующие диаграммы изображены на рис. 16 а и б.

Рис. 16