20 | 04 | 2024

Закон Ньютона

Произведем в уравнениях Эйнштейна предельный переход к нерелятивистской механике. Как было указано здесь, предположение о малости скоростей всех частиц требует одновременно, чтобы само гравитационное поле было слабым.

Выражение для компоненты g00 метрического тензора (единственной, которая нам понадобится) в рассматриваемом предельном случае было найдено здесь:

g00 = 1 + .

Далее, для компонент тензора энергии-импульса мы можем воспользоваться выражением (35.4) =μc2uiuk, где μ — плотность массы тела (сумма масс покоя частиц в единице объема; индекс 0 у μ для краткости опускаем). Что касается 4-скорости ui, то поскольку макроскопическое движение тоже, конечно, считается медленным, то мы должны пренебречь всеми ее пространственными компонентами, оставив только временную, т. е. должны положить uα=0, u0=u0=1. Из всех компонент  остается, таким образом, только

 = μc2.                                (99.1)

Скаляр T= будет равен той же величине μc2.

Уравнения Эйнштейна напишем в форме (95.8):

=  T;

при i=k=0

 =  μ.

При вычислении  по общей формуле (92.7) замечаем, что члены, содержащие произведения величин , во всяком случае являются величинами второго порядка малости. Члены же, содержащие производные по x0=ct, являются малыми (по сравнению с членами с производными по координатам xα), как содержащие лишние степени от 1/с. В результате остается =R00=∂/∂xα. Подставляя

 ≈ − gαβ  ,

находим

=  ≡  Δφ.

Таким образом, уравнения Эйнштейна дают

Δφ = 4πkμ.                            (99.2)

Это и есть уравнение гравитационного поля в нерелятивистской механике. По своей форме оно полностью аналогично уравнению Пуассона (36.4) для электрического потенциала, в котором теперь вместо плотности заряда стоит плотность массы, умноженная на −k. Поэтому мы можем сразу написать общее решение уравнения (99.2) по аналогии с (36.8) в виде

φ = −k dV.                      (99.3)

Эта формула определяет в нерелятивистском приближении потенциал гравитационного поля любого распределения масс.

В частности, для потенциала поля одной частицы с массой т имеем

φ = − ,                             (99.4)

и, следовательно, сила F=−m', действующая в этом поле на другую частицу (массы m'), равна

F = − .                         (99.5)

Это — известный закон тяготения Ньютона.

Потенциальная энергия частицы в гравитационном поле равна ее массе, умноженной на потенциал поля, аналогично тому, что потенциальная энергия в электрическом поле равна произведению заряда на потенциал этого поля. Поэтому мы можем написать по аналогии с (37.1) для потенциальной энергии любого распределения масс выражение

U μφdV.                       (99.6)