Страница 1 из 2
Произведем в уравнениях Эйнштейна предельный переход к нерелятивистской механике. Как было указано здесь, предположение о малости скоростей всех частиц требует одновременно, чтобы само гравитационное поле было слабым.
Выражение для компоненты g00 метрического тензора (единственной, которая нам понадобится) в рассматриваемом предельном случае было найдено здесь:
g00 = 1 + 
.
Далее, для компонент тензора энергии-импульса мы можем воспользоваться выражением (35.4) 
=μc2uiuk, где μ — плотность массы тела (сумма масс покоя частиц в единице объема; индекс 0 у μ для краткости опускаем). Что касается 4-скорости ui, то поскольку макроскопическое движение тоже, конечно, считается медленным, то мы должны пренебречь всеми ее пространственными компонентами, оставив только временную, т. е. должны положить uα=0, u0=u0=1. Из всех компонент остается, таким образом, только
= μc2. (99.1)
Скаляр T=
будет равен той же величине μc2.
Уравнения Эйнштейна напишем в форме (95.8):
= 
− 
T
;
при i=k=0
= 
μ.
При вычислении по общей формуле (92.7) замечаем, что члены, содержащие произведения величин 
, во всяком случае являются величинами второго порядка малости. Члены же, содержащие производные по x0=ct, являются малыми (по сравнению с членами с производными по координатам xα), как содержащие лишние степени от 1/с. В результате остается =R00=∂
/∂xα. Подставляя
≈ − gαβ 
= 
,
находим
= 
≡ Δφ.
Таким образом, уравнения Эйнштейна дают
Δφ = 4πkμ. (99.2)
Это и есть уравнение гравитационного поля в нерелятивистской механике. По своей форме оно полностью аналогично уравнению Пуассона (36.4) для электрического потенциала, в котором теперь вместо плотности заряда стоит плотность массы, умноженная на −k. Поэтому мы можем сразу написать общее решение уравнения (99.2) по аналогии с (36.8) в виде
φ = −k 
dV. (99.3)
Эта формула определяет в нерелятивистском приближении потенциал гравитационного поля любого распределения масс.
В частности, для потенциала поля одной частицы с массой т имеем
φ = − 
, (99.4)
и, следовательно, сила F=−m'
, действующая в этом поле на другую частицу (массы m'), равна
F = − 
. (99.5)
Это — известный закон тяготения Ньютона.
Потенциальная энергия частицы в гравитационном поле равна ее массе, умноженной на потенциал поля, аналогично тому, что потенциальная энергия в электрическом поле равна произведению заряда на потенциал этого поля. Поэтому мы можем написать по аналогии с (37.1) для потенциальной энергии любого распределения масс выражение
U = μφdV. (99.6)
